Какая градусная мера угла М имеет треугольник MNT, если координаты точек M(1;-1;3), N(3;-1;1), T(-1;1;3)?

Пушистый_Дракончик

69

Для нахождения градусной меры угла М в треугольнике MNT, нам нужно использовать знания о векторах и их скалярном произведении.

Во-первых, найдем векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\), используя координаты точек:

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = (3;-1;1) - (1;-1;3) = (2;0;-2)\)

\(\overrightarrow{MT} = \overrightarrow{T} - \overrightarrow{M} = (-1;1;3) - (1;-1;3) = (-2;2;0)\)

Далее, найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\):

\(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT} = (2;0;-2) \cdot (-2;2;0) = 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = -4\)

Затем, найдем модуль (длину) векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\) с помощью формулы:

\(|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(2^2 + 0^2 + (-2)^2)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

\(|\overrightarrow{MT}| = \sqrt{((-2)^2 + 2^2 + 0^2)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

Теперь, используя формулу для скалярного произведения векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MT}\) и их модулей, мы можем найти косинус угла М:

\(\cos{\angle{M}} = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MT}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{MT}|} = \frac{-4}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}\)

Наконец, чтобы найти градусную меру угла М, мы можем воспользоваться обратной функцией косинуса, arccos():

\(\angle{M} = \arccos{\left(-\frac{1}{2}\right)}\)

Округлим это значение до ближайшего градуса:

\(\angle{M} \approx 120^\circ\)

Таким образом, угол М в треугольнике MNT имеет градусную меру приблизительно 120 градусов.