Какая из указанных функций не является первообразной для функции f(x)=cos3x?

Вероника

35

Для того чтобы определить, какая из указанных функций не является первообразной для функции \(f(x) = \cos(3x)\), мы можем использовать простой подход. Здесь нам понадобится использовать правило интегрирования функции \(f(x) = \cos(3x)\).

Правило интегрирования для функции \(\cos(ax)\) помогает нам интегрировать функции, где переменная находится внутри функции \(\cos\). Это правило позволяет нам найти первообразную функцию \(F(x)\) для функции \(f(x) = \cos(ax)\):

\[F(x) = \frac{{\sin(ax)}}{a} + C,\]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Итак, применяя это правило к нашей функции, мы получаем:

\[F(x) = \frac{{\sin(3x)}}{3} + C.\]

Теперь мы можем проверить, какая из указанных функций является первообразной для функции \(f(x) = \cos(3x)\), используя данное выражение.

Варианты функций:

1) \(F_1(x) = \frac{{\sin(3x)}}{3} + 2x\)

2) \(F_2(x) = -\sin(3x) + C\)

3) \(F_3(x) = \frac{{\cos(3x)}}{3} + C\)

4) \(F_4(x) = \frac{{\sin(3x)}}{3} + C\)

Давайте подставим каждый из этих вариантов вместо \(F(x)\) в функцию \(f(x) = \cos(3x)\) и посмотрим, какой будет результат.

Для первого варианта, подставим \(F_1(x)\):

\(f(x) = \cos(3x)\)

\(F_1"(x) = \frac{{\sin(3x)}}{3} + 2\)

\(F_1"(x) \neq f(x)\), поэтому \(F_1(x)\) не является первообразной для функции \(f(x) = \cos(3x)\).

Для второго варианта, подставим \(F_2(x)\):

\(f(x) = \cos(3x)\)

\(F_2"(x) = -\sin(3x)\)

\(F_2"(x) = f(x)\), поэтому \(F_2(x)\) является первообразной для функции \(f(x) = \cos(3x)\).

Для третьего варианта, подставим \(F_3(x)\):

\(f(x) = \cos(3x)\)

\(F_3"(x) = \frac{{\cos(3x)}}{3}\)

\(F_3"(x) \neq f(x)\), поэтому \(F_3(x)\) не является первообразной для функции \(f(x) = \cos(3x)\).

Для четвертого варианта, подставим \(F_4(x)\):

\(f(x) = \cos(3x)\)

\(F_4"(x) = \frac{{\sin(3x)}}{3}\)

\(F_4"(x) = f(x)\), поэтому \(F_4(x)\) является первообразной для функции \(f(x) = \cos(3x)\).

Таким образом, из данных функций только \(F_1(x)\) и \(F_3(x)\) не являются первообразными для \(f(x) = \cos(3x)\).