Какая концентрация азотной кислоты в каждом из имеющихся растворов, если 5 кг имеют одну концентрацию, а 7 кг - другую

Вечерняя_Звезда

44

Давайте рассмотрим данную задачу. У нас есть два раствора - один с концентрацией \(c_1\) и массой 5 кг, и другой с концентрацией \(c_2\) и массой 7 кг.

Мы хотим найти концентрацию азотной кислоты в каждом из этих растворов, а также концентрацию в растворе, полученном при их смешивании.

Пусть \(x\) - это концентрация азотной кислоты в первом растворе, и \(y\) - концентрация азотной кислоты во втором растворе.

Мы знаем, что при смешивании растворов получается раствор с концентрацией 35% кислоты. То есть, мы можем записать уравнение на основе закона сохранения массы:

\[
5x + 7y = 35 \cdot (5 + 7)
\]

Теперь у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными. Однако, у нас есть ещё одна информация - если равные массы растворов смешать, то получится раствор с концентрацией \(c\) кислоты.

Мы можем записать второе уравнение:

\[
\frac{{5x + 7y}}{{5 + 7}} = c
\]

Объединяя оба уравнения, мы можем решить систему уравнений и найти значения концентраций азотной кислоты в растворах:

\[
\begin{{cases}}
5x + 7y = 35 \cdot (5 + 7) \\
\frac{{5x + 7y}}{{5 + 7}} = c
\end{{cases}}
\]

Давайте продолжим и решим эту систему уравнений.

Первое уравнение можно упростить:

\[
5x + 7y = 420
\]

Теперь мы можем решить систему двумя способами. Воспользуемся методом подстановки.

Выразим \(x\) через \(y\) из второго уравнения:

\[
x = c \cdot (5 + 7) - 7y
\]

Теперь подставим это выражение для \(x\) в первое уравнение:

\[
5 \cdot (c \cdot (5 + 7) - 7y) + 7y = 420
\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[
5c \cdot (5 + 7) - 35y + 7y = 420
\]

Продолжим упрощение:

\[
60c - 28y = 420
\]

Теперь выразим \(y\) через \(c\):

\[
28y = 60c - 420
\]

\[
y = \frac{{60c - 420}}{{28}}
\]

Теперь, используя это значение, мы можем найти \(x\):

\[
x = c \cdot (5 + 7) - 7 \cdot \frac{{60c - 420}}{{28}} = \frac{{40c + 70}}{{7}}
\]

Итак, мы получили выражение для \(x\) через \(c\):

\[
x = \frac{{40c + 70}}{{7}}
\]

Таким образом, концентрация азотной кислоты в первом растворе равна \(\frac{{40c + 70}}{{7}}\), а во втором растворе - \(\frac{{60c - 420}}{{28}}\).

Когда равные массы растворов смешиваются, получается раствор с концентрацией \(c\) кислоты. То есть, мы можем записать уравнение:

\[
\frac{{5 \cdot \left(\frac{{40c + 70}}{{7}}\right) + 7 \cdot \left(\frac{{60c - 420}}{{28}}\right)}}{{5 + 7}} = c
\]

Упростим это уравнение и найдем значение \(c\):

\[
\frac{{(200c + 350) + (420c - 2940)}}{{12}} = c
\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[
\frac{{620c - 2590}}{{12}} = c
\]

Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дроби:

\[
620c - 2590 = 12c
\]

Приравняем нулю:

\[
608c = 2590
\]

\[
c = \frac{{2590}}{{608}}
\]

Таким образом, при равных массах растворов смешивания получается раствор с концентрацией \(\frac{{2590}}{{608}}\) кислоты.

Пожалуйста, простите за столь детальный ответ. Но я старался сделать его максимально понятным для школьника. Если у вас остались вопросы или требуется дополнительные пояснения, не стесняйтесь задавать.