Какая максимальная площадь может быть у прямоугольника с периметром 12 см? ответ: Какова наибольшая площадь

Stanislav

14

Чтобы найти максимальную площадь прямоугольника с заданным периметром, нужно использовать оптимальные размеры сторон. Предположим, что прямоугольник имеет длину \(L\) и ширину \(W\).

Периметр прямоугольника можно выразить следующим образом:

\[2L + 2W = 12\]

Давайте решим это уравнение относительно одной из переменных. Возьмем, например, \(L\):

\[2L = 12 - 2W\]

Делим обе части на 2:

\[L = 6 - W\]

Теперь мы можем использовать это выражение для площади прямоугольника. Площадь прямоугольника \(A\) вычисляется по формуле:

\[A = LW\]

Подставим выражение для \(L\) в формулу площади:

\[A = (6 - W)W\]

Раскрываем скобки:

\[A = 6W - W^2\]

Мы получили площадь прямоугольника в виде квадратного выражения. Для определения максимального значения площади, мы можем использовать метод дифференцирования.

Возьмем производную площади по \(W\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума:

\[\frac{dA}{dW} = 6 - 2W = 0\]

Решим это уравнение:

\[6 - 2W = 0\]

Вычитаем 6 из обеих частей уравнения:

\[-2W = -6\]

Делим обе части на -2:

\[W = 3\]

Теперь, чтобы найти соответствующую длину \(L\), подставим найденное значение \(W\) в уравнение \(L = 6 - W\):

\[L = 6 - 3\]

\[L = 3\]

Таким образом, оптимальная ширина прямоугольника составляет 3 см, а оптимальная длина также составляет 3 см.

Теперь, чтобы найти максимальную площадь прямоугольника, подставим найденные значения длины и ширины в формулу площади:
\[A = (3)(3) = 9\]

Ответ: Максимальная площадь прямоугольника с периметром 12 см равна 9 квадратным сантиметрам.