Какая масса груза m была изначально подвешена к пружине, если частота колебаний v уменьшилась в 2 раза после

Skolzkiy_Baron

32

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Гука для пружины и формулу для частоты колебаний.

1. Определим формулу для частоты колебаний пружины:
\[v = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]
где \(v\) - частота колебаний, \(k\) - коэффициент упругости пружины, \(m\) - масса груза.

2. Зная, что частота колебаний уменьшилась в 2 раза, можно записать уравнение:
\(\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2}\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m + m_0}}\)
где \(m_0\) - масса гири.

3. Упростим уравнение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(\frac{1}{4}\frac{k}{m} = \frac{k}{m + m_0}\)

4. Заменим \(k = m\cdot g\) (где \(g\) - ускорение свободного падения) и \(m_0 = 300\) граммов:
\(\frac{1}{4}\frac{m\cdot g}{m} = \frac{m\cdot g}{m + 0.3}\)

5. Разрешим уравнение относительно \(m\):
\(\frac{1}{4} = \frac{m}{m + 0.3}\)

6. Далее, умножим обе части уравнения на \((m + 0.3)\):
\(\frac{1}{4}(m + 0.3) = m\)

7. Раскроем скобку:
\(\frac{1}{4}m + 0.075 = m\)

8. Перенесем все члены с \(m\) в одну сторону:
\(m - \frac{1}{4}m = 0.075\)

9. Упростим уравнение:
\(\frac{3}{4}m = 0.075\)

10. Разделим обе части уравнения на \(\frac{3}{4}\):
\(m = \frac{0.075}{\frac{3}{4}}\)

11. Рассчитаем \(m\):
\(m = \frac{0.075}{\frac{3}{4}} = 0.1\) (кг)

12. Поскольку нам нужно округлить ответ до целых граммов, переведем массу в граммы:
\(m = 0.1 \cdot 1000 = 100\) (г)

Таким образом, изначально подвешенный к пружине груз имел массу 100 граммов.