Какая наименьшая начальная скорость требуется для полета с Марса к Земле? Величина большой полуоси орбиты Марса

Веселый_Пират

62

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать законы движения тел по орбитам.

Следуя первому закону Кеплера, we know that each planet moves around the Sun in an elliptical orbit with the Sun at one of the foci. When a spacecraft travels from a planet to another planet, it is also moving in an elliptical orbit.

Чтобы вычислить необходимую начальную скорость \(V_i\) для перелета с Марса на Землю, используем закон сохранения энергии. В самом начале полета, когда космический аппарат находится на поверхности Марса, его полная механическая энергия складывается из кинетической энергии движения объекта и потенциальной энергии гравитационного поля.

Используем следующее выражение для полной энергии космического аппарата:

\[
E = \dfrac{1}{2} m V_{i}^2 - \dfrac{G M_{Mars} m}{r_{Mars}}
\]

где \(m\) - масса космического аппарата, \(V_i\) - его начальная скорость, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_{Mars}\) - масса Марса, и \(r_{Mars}\) - большая полуось орбиты Марса.

Следующий шаг - вычислить полную энергию космического аппарата в момент, когда он находится на поверхности Земли. В этот момент, потенциальная энергия гравитационного поля становится равной нулю, так как объект находится на поверхности планеты. Таким образом, уравнение для полной энергии принимает следующий вид:

\[
E = \dfrac{1}{2} m V_f^2
\]

где \(V_f\) - скорость космического аппарата при достижении Земли.

При равновесии энергии между началом и концом полета, полная энергия в момент вылета с Марса должна быть равна полной энергии при прибытии на Землю. То есть,

\[
\dfrac{1}{2} m V_i^2 - \dfrac{G M_{Mars} m}{r_{Mars}} = \dfrac{1}{2} m V_f^2
\]

Упрощая выражение и выражая \(V_i\), мы получаем искомую формулу для вычисления начальной скорости:

\[
V_i = \sqrt{\dfrac{2 G M_{Mars}}{r_{Mars}} + V_f^2}
\]

Теперь подставим известные значения в формулу, чтобы найти минимальную начальную скорость.

Значение гравитационной постоянной \(G\) = 6,67430 * 10^(-11) м^3 кг^(-1) с^(-2).

Масса Марса \(M_{Mars}\) = 6,39 * 10^23 кг.

Большая полуось орбиты Марса \(r_{Mars}\) = 1,52 * 10^11 м.

Скорость космического аппарата при достижении Земли \(V_f\) = 0 (так как он замедляется из-за гравитационного притяжения).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
V_i = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 6,67430 \cdot 10^{-11} \cdot 6,39 \cdot 10^{23}}{1,52 \cdot 10^{11}} + 0^2}
\]

Выполняя вычисления, получаем значение начальной скорости \(V_i\). Ответ округлим до удобного нам значения и затем подставим:

\[
V_i \approx 24171,22 \ м/с
\]

Таким образом, наименьшая начальная скорость, необходимая для полета с Марса к Земле, составляет примерно 24171,22 м/с.