Какая площадь имеет сечение круга, если шар разделен секущей плоскостью на две части, объемы которых составляют

Zagadochnaya_Sova

24

Чтобы найти площадь сечения круга, разделенного секущей плоскостью, нам нужно использовать информацию об объемах двух полученных частей.

Давайте обозначим радиус сечения круга как \(r\), а высоту секущей плоскости, относительно центра сферы, как \(h\).

Первая часть с объемом 12 кубических дециметров может быть представлена как конус с высотой \(h\). Так как объем конуса равен \(\frac{1}{3} \pi r^2h\), подставим известные значения: \(\frac{1}{3} \pi r^2h = 12\).

Вторая часть имеет объем 24 кубических дециметров, и она также может быть представлена как конус с высотой \(h\). Следовательно, \(\frac{1}{3} \pi r^2h = 24\).

Теперь у нас есть два уравнения: \(\frac{1}{3} \pi r^2h = 12\) и \(\frac{1}{3} \pi r^2h = 24\).

Если мы поделим второе уравнение на первое, получим \(\frac{\frac{1}{3} \pi r^2h}{\frac{1}{3} \pi r^2h} = \frac{24}{12}\), что равно 2.

Таким образом, отношение объема второй части к объему первой части равно 2.

Объем конуса зависит от высоты и площади сечения на определенной высоте: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2h\).

Если отношение объемов двух конусов равно 2, значит, отношение площадей их сечений на одной высоте тоже равно 2.

Теперь нам нужно найти площадь сечения круга на одной и той же высоте для первой и второй частей.

Поскольку отношение площадей равно 2, можно записать уравнение: \(\frac{\text{площадь второй части}}{\text{площадь первой части}} = 2\).

Обозначим площадь сечения круга, относящуюся к первой части, как \(S_1\). Тогда площадь сечения, относящаяся ко второй части, будет равна \(2S_1\).

Таким образом, площадь сечения круга (общая площадь двух частей) равна \(S_1 + 2S_1 = 3S_1\).

Теперь нам нужно найти \(S_1\). Для этого воспользуемся уравнением \(\frac{1}{3} \pi r^2h = 12\) и выразим \(h\):

\(\frac{1}{3} \pi r^2h = 12 \Rightarrow h = \frac{36}{\pi r^2}\).

Подставим найденное значение \(h\) в уравнение для \(S_1\):
\[S_1 = \pi r^2 \cdot \frac{36}{\pi r^2} = 36.\]

Таким образом, площадь сечения круга равна 36 квадратным дециметрам.