Напишите уравнение сторон треугольника, используя координаты его вершины B(2;-7) и уравнения высоты 3x+y+11=0 и медианы

Котэ

3

Чтобы найти уравнение сторон треугольника, используя координаты вершины B(2;-7) и уравнения высоты 3x+y+11=0 и медианы x+2y+7=0, мы должны найти координаты двух других вершин треугольника. Давайте начнем с нахождения координат вершины, из которой проведена высота.

1. Найдем координаты вершины, из которой проведена высота:
Поскольку у нас есть уравнение высоты 3x+y+11=0, мы можем найти координаты точек пересечения этой прямой с прямыми, содержащими стороны треугольника.

Для того чтобы найти вершину, из которой проведена высота, нужно решить систему уравнений высоты и одной из сторон треугольника. Найдем, например, координаты вершины, соединенной с точкой В.
Получим систему двух уравнений:
Система 1:
\[\begin{cases} 3x + y + 11 = 0 \\ x + 2y + 7 = 0 \end{cases}\]

Решим систему 1:
Методом подстановки выразим из уравнения высоты y:
y = -3x - 11

Подставим выражение для y во второе уравнение и решим его относительно x:
x + 2(-3x - 11) + 7 = 0
x - 6x - 22 + 7 = 0
-5x - 15 = 0
x = -15 / -5
x = 3

Теперь, найдем y, подставив найденное значение x в одно из уравнений:
3 + 2y + 7 = 0
2y = -3 - 7
2y = -10
y = -10 / 2
y = -5

Таким образом, координаты вершины, из которой проведена высота, равны D(3;-5).

2. Теперь найдем координаты вершины, из которой проведена медиана.
Медиана проходит через точку B(2;-7), поэтому нам нужно найти координаты точки, из которой она проведена.

Для этого решим систему уравнения медианы и одной из сторон треугольника. Возьмем, например, координаты вершины, соединенной с точкой B.
Получим систему двух уравнений:
Система 2:
\[\begin{cases} x + 2y + 7 = 0 \\ 3x + y + 11 = 0 \end{cases}\]

Решим систему 2:
Методом подстановки выразим из уравнения медианы y:
y = -x / 2 - 7 / 2

Подставим это в уравнение высоты и решим его относительно x:
3x + (-x / 2 - 7 / 2) + 11 = 0
6x - x - 7 + 22 = 0
5x + 15 = 0
5x = -15
x = -15 / 5
x = -3

Теперь, найдем y, подставив найденное значение x в одно из уравнений:
-3 + 2y + 7 = 0
2y = -3 - 7
2y = -10
y = -10 / 2
y = -5

Таким образом, координаты вершины, из которой проведена медиана, равны C(-3;-5).

3. Итак, у нас есть вершины B(2;-7), D(3;-5) и C(-3;-5). Чтобы найти уравнение стороны треугольника BC, мы можем использовать формулу наклона прямой, а также любую из двух вершин.

Найдем уравнение стороны треугольника BC, используя точки B(2;-7) и C(-3;-5):

\[\text{Найдем разность координат по оси x: }\]
\[\Delta x = x_2 - x_1 = -3 - 2 = -5\]

\[\text{Найдем разность координат по оси y: }\]
\[\Delta y = y_2 - y_1 = -5 - (-7) = 2\]

\[\text{Найдем наклон прямой: }\]
\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{-5} = -\frac{2}{5}\]

\[\text{Теперь найдем уравнение стороны BC, используя формулу: }\]
\[y = kx + b\]

\[\text{Подставим координаты точки B(2;-7): }\]
\[-7 = -\frac{2}{5} \cdot 2 + b\]

\[b = -7 + \frac{4}{5} = -\frac{35}{5} + \frac{4}{5} = -\frac{31}{5}\]

Таким образом, уравнение стороны треугольника BC равно:
\[y = -\frac{2}{5}x - \frac{31}{5}\]