Какая площадь наименьшего четырёхугольника, в который можно вписать окружность, если одна из его сторон прямая

Zvuk

69

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, у которого основание BC равно 12 и боковые стороны AB и AC равны. Пусть точка D - середина основания BC, а точка O - центр вписанной окружности.

Чтобы найти площадь наименьшего четырёхугольника, в который можно вписать окружность, нам нужно найти длины его сторон.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то мы знаем, что BD = DC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDO. Мы знаем, что BD = DC = 12/2 = 6. Отсюда, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти BO. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, BO^2 + DO^2 = BD^2.

Пусть DO = x, тогда BO = 6 + x, и BD = DC = 6.

Подставляя значения в уравнение Пифагора, получим:

(6 + x)^2 + x^2 = 6^2.

Раскрывая скобки и сокращая, получим:

36 + 12x + x^2 + x^2 = 36.

Упрощая это уравнение, получим:

2x^2 + 12x = 0.

Вынося x за скобку, получим:

2x(x + 6) = 0.

Таким образом, либо x = 0, либо x + 6 = 0.

Если x = 0, то это означает, что точка O совпадает с точкой D, и окружность находится внутри треугольника ABC, что противоречит условию задачи.

Если x + 6 = 0, то x = -6. Это означает, что точка O симметрична относительно середины основания BC.

Теперь, мы можем найти длины сторон четырёхугольника. Сторона BC равна 12, сторона OD равна 6, а сторона OB равна 6 - (-6) = 12.

Таким образом, мы находим, что сторона AD четырёхугольника равна AC (так как точка O симметрична относительно середины BC).

Получается, что стороны четырёхугольника равны 12, 12, 12 и AC.

Чтобы найти площадь наименьшего четырёхугольника, в который можно вписать окружность, мы можем его разбить на два прямоугольных треугольника и квадрат.

Площадь каждого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть (6 * 6) / 2 = 18.

Площадь квадрата равна стороне в квадрате, то есть AC^2.

Тогда, общая площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников и квадрата:

Площадь = 18 + 18 + AC^2.

Таким образом, площадь наименьшего четырёхугольника, в который можно вписать окружность, равна 36 + AC^2.