Какая площадь трапеции abcd, если боковая сторона bc равна 5, а расстояния от вершин a и d до прямой bc равны 3

Schelkunchik

49

Чтобы найти площадь трапеции \(abcd\), нам понадобится знать ее высоту и длины двух параллельных сторон. В данной задаче у нас известны боковая сторона \(bc\), равная 5, и расстояния от вершин \(a\) и \(d\) до прямой \(bc\), равные 3 и 7 соответственно.

Шаг 1: Нарисуем трапецию \(abcd\) и отметим известные значения:

\(\quad\quad\quad\)

b _______ c
/ \
/ \
/ \
a________________d

Мы знаем, что \(bc\) = 5, \(ad\) = 7 и \(ab\) = 3.

Шаг 2: Обозначим высоту трапеции как \(h\). Заметим, что высота трапеции - это расстояние между прямыми, проходящими через стороны \(a\) и \(d\) и параллельными основаниями \(bc\).

\(\quad\quad\quad\)

b _______ c
/ \
/ h \
/ \
a________________d

Шаг 3: Построим прямую, проходящую через сторону \(bc\) и параллельную стороне \(ad\). Обозначим эту перпендикулярную отрезку \(ef\).

\(\quad\quad\quad\)

b _______ c
/ \
/┌──┬──┐\
/ e f \
a________________d

Заметим, что прямоугольный треугольник \(aef\) и прямоугольный треугольник \(dfc\) подобны трапеции \(abcd\) соответственно.

Шаг 4: Используем подобные треугольники для нахождения значения высоты \(h\). Определение подобия треугольников гласит, что их соответствующие стороны пропорциональны. В данном случае, отношение соответствующих сторон треугольников \(aef\) и \(dfc\) равно отношению \(ab\) и \(dc\), которые равны 3 и 7:
\[\frac{ae}{df} = \frac{ab}{dc} = \frac{3}{7}\]

Поскольку оба треугольника имеют одну общую сторону \(bc\), отношение высот треугольников также будет равно 3/7:
\[\frac{h}{5} = \frac{3}{7}\]

Шаг 5: Решим полученное уравнение относительно высоты \(h\):
\[\frac{h}{5} = \frac{3}{7}\]
\[h = \frac{3}{7} \times 5\]
\[h = \frac{15}{7}\]
\[h \approx 2.143\]

Итак, площадь трапеции равна произведению длины ее основания на высоту:
\[S = \frac{1}{2} \times (ab + dc) \times h\]
\[S = \frac{1}{2} \times (3 + 7) \times 2.143\]
\[S \approx 10.715\]

Ответ: Площадь трапеции \(abcd\) при данных условиях равна примерно 10.715.