1/ На диагонали AC квадрата ABCD с конечной точкой A проведена прямая, перпендикулярная диагонали AC. Эта прямая

Ogon

34

1/ Чтобы найти длину отрезка MN, нам нужно использовать свойства перпендикуляров и подобия прямоугольных треугольников. Для начала, заметим, что прямые CB и CD являются диагоналями квадрата ABCD, поэтому они пересекаются в точке C, а значит, треугольник CMB является прямоугольным. Также, по условию, мы знаем, что прямая, проведенная из точки A, является перпендикуляром к диагонали AC, поэтому треугольник AMN также является прямоугольным.

Теперь, чтобы найти длину отрезка MN, мы можем воспользоваться подобием треугольников CMB и AMN. По свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон равно. Обозначим длину отрезка MN как х, тогда отрезок CN будет равен длине отрезка MB. Давайте обозначим длину отрезка MN как х.

Так как треугольник CMB - прямоугольный, то длина отрезка CB равна диагонали квадрата ABCD, то есть длина стороны квадрата. По условию, сторона квадрата равна единице, поэтому длина отрезка CB равна 1.

Теперь мы можем записать пропорцию для подобия треугольников CMB и AMN:

\(\frac{х}{1} = \frac{1}{х + 1}\)

Умножим обе части пропорции на \((х + 1)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(х(х + 1) = 1\)

Раскроем скобки:

\(х^2 + х = 1\)

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Решим его:

\(х^2 + х - 1 = 0\)

Применим формулу дискриминанта, чтобы найти корни уравнения:

\(D = b^2 - 4ac\)

\(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)\)

\(D = 1 + 4 = 5\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\(х_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)

\(х_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\)

Нам интересует длина отрезка, поэтому выберем положительный корень:

\(х = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)

Таким образом, длина отрезка MN равна: \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\).

2/ Чтобы найти периметр квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, мы можем использовать свойства подобных треугольников и центральной симметрии.

Пусть сторона квадрата равна х. Так как один из углов квадрата является прямым углом, то другие три угла равны между собой и равны 90 градусам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Он состоит из двух подобных треугольников, один из которых является катетом треугольника, а другой - гипотенузой. Поэтому длина катета равна длине стороны квадрата, то есть х.

По свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон равно. Поэтому отношение длины гипотенузы (катет треугольника) к длине катета (сторона квадрата) равно:

\(\frac{5}{х} = \frac{х}{х + х}\)

Решим пропорцию:

\(5 \cdot х + 0 \cdot (х + х) = х^2\)

\(5х = х^2\)

Делаем замену: \(х = \sqrt{5}\)

Периметр квадрата равен сумме длин его сторон:

\(P = 4х = 4\sqrt{5}\).

Таким образом, периметр квадрата равен \(4\sqrt{5}\).

3/ Чтобы найти острый угол между диагоналями прямоугольника, мы можем использовать синус этого угла и заданное отношение длин отрезков внутри угла.

Давайте обозначим острый угол между диагоналями прямоугольника как А.

По определению синуса острого угла, мы можем записать:

\(\sin{А} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\)

Пусть длина диагонали прямоугольника равна D, а отрезок, разделяющий угол, равен 7.

Так как этот отрезок делит угол в заданном отношении 7:3, мы можем выразить противолежащий катет через заданный отрезок:

\(противолежащий катет = 7 \cdot \frac{D}{7 + 3}\)

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу синуса:

\(\sin{А} = \frac{7 \cdot \frac{D}{10}}{D} = \frac{7}{10}\)

Теперь найдем острый угол А с помощью обратной функции синуса:

\(A = \arcsin{\frac{7}{10}}\)

Острый угол A между диагоналями прямоугольника равен \(\arcsin{\frac{7}{10}}\).