Какая плоскость отсекает четверть окружности в основании конуса при угле 45º между этой плоскостью и основанием? Когда

Весенний_Лес

31

Для решения этой задачи рассмотрим рисунок ниже:

\[
\begin{array}{cccccccccc}
& A & B & C \\
\hline
D & & & \\
\hline
E & & O & \\
\hline
F & & & \\
\end{array}
\]

Где \(O\) - вершина конуса, \(ABCD\) - основание конуса (окружность), \(EF\) - отсекаемая плоскость, \(AO\) - высота конуса.

Из задачи известно, что угол между плоскостью \(EF\) и основанием \(ABCD\) равен 45º, а высота конуса равна 2.

Для начала найдем радиус окружности \(ABCD\). Поскольку окружность отсекает четверть окружности в основании конуса, угол между двумя радиусами окружности, проведенными к точкам пересечения плоскости \(EF\) с окружностью, должен составлять 90º.

Из синуса и косинуса угла 45º получим:

\[
\sin(45^\circ) = \frac{{AD}}{{AO}} \quad \Rightarrow \quad AD = AO \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = \sqrt{2}
\]

Также заметим, что \(AD\) равно радиусу окружности, поскольку \(AD\) является радиус-вектором точки \(D\), лежащей на окружности.

Теперь, зная радиус окружности \(r\), можем найти ее площадь \(S\):

\[
S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 = 2\pi
\]

Для нахождения объема конуса \(V\) воспользуемся формулой:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 2 = \frac{4}{3} \pi
\]

где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Для нахождения площади боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\) конуса воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника \(AOD\):

\[
AD^2 + OD^2 = AO^2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2}^2 + r^2 = 2^2 \quad \Rightarrow \quad r^2 = 4 - 2 = 2
\]

Таким образом, получаем:

\[
S_{\text{бок}} = \pi \cdot r \cdot l
\]

где \(l\) - образующая конуса. Поскольку \(l = AO = 2\), получаем:

\[
S_{\text{бок}} = \pi \cdot 2 \cdot 2 = 4\pi
\]

Наконец, полная площадь поверхности \(S_{\text{полн}}\) конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

\[
S_{\text{полн}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{бок}} = 2\pi + 4\pi = 6\pi
\]

Итак, ответ на задачу: площадь сечения конуса будет равна \(2\pi\), объем конуса будет равен \(\frac{4}{3}\pi\), площадь боковой поверхности конуса будет равна \(4\pi\), а полная площадь поверхности конуса будет равна \(6\pi\).