Какая плоскость отсекает четверть окружности в основании конуса при угле 45º между этой плоскостью и основанием? Когда

Весенний_Лес

31

Для решения этой задачи рассмотрим рисунок ниже:

$$\begin{array}{cccc}& A& B& C\\ D& & & \\ E& & O& \\ F& & & \end{array}$$

Где $O$ - вершина конуса, $ABCD$ - основание конуса (окружность), $EF$ - отсекаемая плоскость, $AO$ - высота конуса.

Из задачи известно, что угол между плоскостью $EF$ и основанием $ABCD$ равен 45º, а высота конуса равна 2.

Для начала найдем радиус окружности $ABCD$. Поскольку окружность отсекает четверть окружности в основании конуса, угол между двумя радиусами окружности, проведенными к точкам пересечения плоскости $EF$ с окружностью, должен составлять 90º.

Из синуса и косинуса угла 45º получим:

$$\sin ({45}^{\circ })=\frac{AD}{AO}\Rightarrow AD=AO\cdot \sin ({45}^{\circ })=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Также заметим, что $AD$ равно радиусу окружности, поскольку $AD$ является радиус-вектором точки $D$, лежащей на окружности.

Теперь, зная радиус окружности $r$, можем найти ее площадь $S$:

$$S=\pi \cdot r^2=\pi \cdot (\sqrt{2}{)}^2=2\pi$$

Для нахождения объема конуса $V$ воспользуемся формулой:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{основания}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\sqrt{2}{)}^2\cdot 2=\frac{4}{3}\pi$$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания конуса, $h$ - высота конуса.

Для нахождения площади боковой поверхности $S_{\text{бок}}$ конуса воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $AOD$:

$$A{D}^2+O{D}^2=A{O}^2\Rightarrow {\sqrt{2}}^2+r^2=2^2\Rightarrow r^2=4-2=2$$

Таким образом, получаем:

$$S_{\text{бок}}=\pi \cdot r\cdot l$$

где $l$ - образующая конуса. Поскольку $l=AO=2$, получаем:

$$S_{\text{бок}}=\pi \cdot 2\cdot 2=4\pi$$

Наконец, полная площадь поверхности $S_{\text{полн}}$ конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{основания}}+S_{\text{бок}}=2\pi +4\pi =6\pi$$

Итак, ответ на задачу: площадь сечения конуса будет равна $2\pi$, объем конуса будет равен $\frac{4}{3}\pi$, площадь боковой поверхности конуса будет равна $4\pi$, а полная площадь поверхности конуса будет равна $6\pi$.