Что такое высота правильной четырехугольной пирамиды с апофемой равной 17 и стороной основания равной 30? Какова

Иван

2

Высота правильной четырехугольной пирамиды может быть найдена с использованием теоремы Пифагора. Рассмотрим треугольник, образованный апофемой, высотой и биссектрисой угла основания, который является прямым углом при основании пирамиды.

Давайте обозначим высоту пирамиды как \(h\), а половину диагонали основания как \(d\). Тогда по теореме Пифагора имеем:
\[\begin{align*}
h^2 + d^2 &= 17^2\\
h^2 + \left(\frac{30}{2}\right)^2 &= 17^2\\
h^2 + 15^2 &= 289\\
h^2 &= 289 - 15^2\\
h^2 &= 289 - 225\\
h^2 &= 64\\
h &= 8
\end{align*}\]

Таким образом, высота пирамиды равна 8.

Теперь давайте найдем площадь полной поверхности пирамиды. Площадь основания пирамиды равна квадрату стороны основания, то есть 30 в данном случае. Поскольку пирамида правильная, у нее 4 одинаковых треугольных боковых стороны, каждая из которых имеет сторону равную 30, а высоту равную 8. Таким образом, площадь каждой боковой стороны будет равна \(\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120\).

Суммируя площадь основания и четыре боковых стороны, получаем общую площадь поверхности пирамиды:
\[Площадь\ полной\ поверхности = 30^2 + 4 \cdot 120 = 900 + 480 = 1380\]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна 1380.

Наконец, чтобы рассчитать объем пирамиды, мы можем использовать формулу:
\[V = \frac{1}{3}Bh\]
где \(B\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.

В данном случае \(B = 30^2 = 900\), а \(h = 8\). Подставляя значения, получаем:
\[V = \frac{1}{3} \cdot 900 \cdot 8 = 2400\]

Таким образом, объем пирамиды равен 2400.

Итак, суммируя все результаты, высота пирамиды равна 8, площадь полной поверхности - 1380, а объем - 2400.