Какая работа была выполнена против электрических сил, когда циклическая частота свободных незатухающих колебаний

Chudesnyy_Korol_9521

67

Для решения данной задачи нам необходимо использовать следующие формулы:

1. Частота колебаний в колебательном контуре, связанная с индуктивностью \(L\) и емкостью \(C\), выражается следующим образом:
\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

2. Энергия колебаний в колебательном контуре выражается через индуктивность \(L\) и заряд \(Q\) на конденсаторе:
\[W = \frac{1}{2}L\Big(\frac{Q}{C}\Big)^2\]

Сначала нам необходимо определить, как изменилась частота колебаний. Дано, что циклическая частота увеличилась в два раза. Пусть исходная частота колебаний равна \(f_1\), а новая частота колебаний равна \(f_2\).

Тогда можно записать следующее соотношение:
\[f_2 = 2f_1\]

Далее, нам дано, что энергия колебаний составляет \(W = 1 \, \text{мДж}\). Мы можем использовать данное выражение для нахождения заряда \(Q\) на конденсаторе, так как уже известны значения индуктивности и энергии:

\[W = \frac{1}{2}L\Big(\frac{Q}{C}\Big)^2\]

Теперь, имея выражение для энергии и найденное соотношение для частот, мы можем решить систему уравнений и найти индуктивность \(L\) и емкость \(C\), а затем и работу, выполненную против электрических сил.

Приведем подробные расчеты:

1. Заменим \(f_2\) в выражении для частоты колебаний:
\[2f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

2. Возводя обе части уравнения в квадрат и перегруппируя, получаем:
\[4f_1^2 = \frac{1}{(2\pi)^2LC}\]

3. Далее, используя выражение для энергии колебаний, подставим известные значения:
\[W = \frac{1}{2}L\Big(\frac{Q}{C}\Big)^2\]

4. Разрешим это уравнение относительно заряда \(Q\):
\[Q = \sqrt{\frac{2W}{L}}\]

5. Теперь мы можем выразить заряд \(Q\) через индуктивность \(L\) и емкость \(C\), и подставить значение заряда в уравнение для частоты колебаний:
\[4f_1^2 = \frac{1}{(2\pi)^2LC} \implies 4f_1^2 = \frac{1}{(2\pi)^2LC} = \frac{1}{(2\pi)^2L\Big(\frac{Q}{C}\Big)} = \frac{C}{(2\pi)^2LQ}\]

6. Подставляем значение заряда \(Q\):
\[4f_1^2 = \frac{C}{(2\pi)^2L \cdot \sqrt{\frac{2W}{L}}} = \frac{C}{(2\pi)^2L} \cdot \sqrt{\frac{L}{2W}} = \frac{\sqrt{L}}{(2\pi)^2\sqrt{2W}} \cdot C\]

7. Теперь выражаем индуктивность \(L\):
\[L = \frac{16\pi^4W}{C^2f_1^2}\]

8. Наконец, чтобы найти работу, выполненную против электрических сил, нужно подставить найденные значения \(L\) и \(W\) в формулу:
\[W_{\text{работа}} = \frac{1}{2}L\Big(\frac{Q}{C}\Big)^2\]

Подставив полученные значения \(L\) и \(C\), мы можем найти искомую работу.

Таким образом, исползуя подробные расчеты, мы можем найти работу, выполненную против электрических сил, когда циклическая частота свободных незатухающих колебаний в колебательном контуре увеличилась в два раза, а энергия колебаний составляла \(W = 1\) мДж.