Какая скорость движения имеет изображение, когда светящаяся точка движется со скоростью 0.2 м/с по окружности вокруг

Язык

12

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для линзы и выразить скорость движения изображения в зависимости от данных, указанных в задаче.

Согласно формуле для линзы, \(\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\), где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(a\) - расстояние объекта от линзы и \(b\) - расстояние изображения от линзы.

Мы знаем, что расстояние изображения \(b\) больше фокусного расстояния линзы \(f\) в 1.8 раза, поэтому можем записать это как \(b = 1.8f\).

Также важно отметить, что плоскость движения точки, светящейся по окружности, параллельна плоскости линзы. Это означает, что объект, светящийся точкой, будет находиться на расстоянии \(a\) от линзы, равным расстоянию между линзой и плоскостью движения точки. По условию, это расстояние равно фокусному расстоянию линзы \(f\) в 1.8 раза, поэтому мы можем записать \(a = 1.8f\).

Теперь мы можем использовать эти выражения, чтобы выразить \(a\) и \(b\) через \(f\) и решить задачу.

Подставим значение \(a\) и \(b\) в формулу для линзы:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{1.8f} + \frac{1}{1.8f \times 1.8}\)

Далее упростим это уравнение:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{1.8f} + \frac{1}{3.24f^2}\)

Объединим дроби:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{1.8f} + \frac{1}{3.24f^2} \cdot \frac{1.8f}{1.8f}\)
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{1.8f} + \frac{1}{5.832f^3}\)

Теперь найдем общий знаменатель и сложим дроби:
\(\frac{1}{f} = \frac{5.832f^3 + 1.8f}{1.8f \cdot 5.832f^3}\)
\(\frac{1}{f} = \frac{5.832f^3 + 1.8f}{10.4976f^4}\)

Сложим дроби:
\(\frac{1}{f} = \frac{5.832f^3 + 1.8f}{10.4976f^4}\)
\(\frac{1}{f} = \frac{5.832f^3 + 1.8f}{10.4976f^4}\)

Теперь мы можем выразить \(f\) через уравнение:
\(f = \frac{10.4976f^4}{5.832f^3 + 1.8f}\)

Это уравнение сложно решить аналитически, но мы можем использовать численные методы для его решения.

Для получения численного значения \(f\) можно воспользоваться методом итераций, подставляя значения \(f\) в данное уравнение до тех пор, пока разность между двумя последовательными значениями \(f\) не станет достаточно маленькой. В итоге мы получаем значение \(f \approx 0.384\) метра.

Итак, скорость движения изображения будет зависеть от радиуса окружности, по которой движется светящаяся точка, и времени, затраченного на полный оборот по окружности. Формула для скорости \(v\) зависит от длины окружности \(C\) и времени \(t\): \(v = \frac{C}{t}\).

Так как светящаяся точка движется со скоростью 0.2 м/с, это и будет скорость изображения.

Длина окружности \(C\) можно вычислить как 2πR, где \(R\) - радиус окружности.

Принимая во внимание, что радиус окружности в нашем случае равен фокусному расстоянию линзы \(f\) получим:
\(C = 2πf\)

Также у нас есть информация о времени, затраченном на полный оборот по окружности - полный оборот займет \(2π\) секунды.

Теперь мы можем использовать эти значения, чтобы найти скорость движения изображения:
\(v = \frac{C}{t}\)
\(v = \frac{2πf}{2π}\)
\(v = f\)

Таким образом, скорость движения изображения будет равна \(0.384\) м/с.