Какие целочисленные значения x и y являются решениями уравнения 15x - 75y

Timka_8451

28

Позвольте мне помочь вам решить данное уравнение. У вас есть уравнение:

\[15x - 75y = 0\]

Для того чтобы найти все целочисленные значения \(x\) и \(y\), которые являются его решением, мы можем воспользоваться методом модифицированного алгоритма Евклида.

Шаг 1: Решение уравнения без ограничений
Начнем с решения уравнения без ограничений, то есть при \(y = 0\).
Подставим \(y = 0\) в исходное уравнение:

\[15x - 75(0) = 0\]

Упростим:

\[15x = 0\]
\[x = \frac{0}{15}\]
\[x = 0\]

Таким образом, одним из решений будет пара значений \(x = 0\) и \(y = 0\).

Шаг 2: Ограничения по целым числам
Теперь посмотрим, какие другие целочисленные значения \(x\) и \(y\) удовлетворяют уравнению.
Перепишем исходное уравнение:

\[15x - 75y = 0\]

Найдем наибольший общий делитель чисел 15 и 75 с помощью алгоритма Евклида.

\[75 = 5 \cdot 15 + 0\]

Так как \(15\) делит \(75\) без остатка, значит, наибольший общий делитель равен \(15\).
Следовательно, все решения уравнения могут быть записаны в виде:

\[x = 5k\]
\[y = k\]

где \(k\) - целое число.

Таким образом, все пары целочисленных значений \(x\) и \(y\), которые являются решениями данного уравнения, имеют вид \(x = 5k\) и \(y = k\), где \(k\) - целое число.


Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!