Какие целые числа могут принимать значения a, если квадратные трёхчлены x2+ax+b и x2+bx+1100 имеют общий простой

Pushik_4125

44

Для начала, давайте разберемся, что такое "квадратные трехчлены". Квадратным трехчленом называется многочлен степени 2, то есть многочлен, в котором присутствуют только слагаемые с x в первой и второй степенях.

В данной задаче у нас есть два квадратных трехчлена: \(x^2 + ax + b\) и \(x^2 + bx + 1100\), и мы ищем значения целого числа \(a\), при которых эти два трехчлена имеют общий простой корень.

Чтобы найти такие значения, воспользуемся свойством общего корня двух многочленов. Если два многочлена имеют общий корень, то это значит, что этот корень является решением уравнений, полученных приравнивании каждого из многочленов к нулю.

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + ax + b = 0 \\
x^2 + bx + 1100 = 0
\end{cases}
\]

Теперь приступим к решению этой системы уравнений пошагово.

1. Из первого уравнения получаем выражение для \(x\) через \(a\) и \(b\) с помощью формулы квадратного уравнения:

\[
x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}
\]

2. Подставим полученные значения \(x\) во второе уравнение:

\[
\left(\frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}\right)^2 + b\left(\frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}\right) + 1100 = 0
\]

3. Упростим это уравнение и приведем его к квадратному виду:

\[
\frac{a^2}{4} - ab + b^2 + \frac{ab}{2} - \frac{a \sqrt{a^2 - 4b}}{2} + \frac{b \sqrt{a^2 - 4b}}{2} + b \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2} + 1100 = 0
\]

4. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

\[
\frac{a^2}{4} + \frac{ab}{2} + b^2 - \frac{ab}{2} + b \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2} - \frac{a \sqrt{a^2 - 4b}}{2} + \frac{b \sqrt{a^2 - 4b}}{2} + 1100 = 0
\]

\[
\frac{a^2}{4} + b^2 + b \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2} - \frac{a \sqrt{a^2 - 4b}}{2} + \frac{b \sqrt{a^2 - 4b}}{2} + 1100 = 0
\]

5. Объединим подобные слагаемые:

\[
\frac{a^2}{4} + b^2 + b \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b} + \sqrt{a^2 - 4b}}{2} - \frac{a \sqrt{a^2 - 4b}}{2} + 1100 = 0
\]

\[
\frac{a^2}{4} + b^2 + b \frac{-a + 2\sqrt{a^2 - 4b}}{2} - \frac{a \sqrt{a^2 - 4b}}{2} + 1100 = 0
\]

6. Упростим выражение и приведем подобные слагаемые:

\[
\frac{a^2}{4} + b^2 - \frac{ab}{2} + \sqrt{a^2 - 4b}\left(\frac{b - a}{2}\right) + 1100 = 0
\]

7. Заметим, что в данном уравнении отсутствуют слагаемые с \(x\). Это значит, что полученное уравнение является тождественной истиной, то есть оно выполняется для любых значений \(a\) и \(b\).

Таким образом, ответ на задачу: любые целые числа могут принимать значения \(a\), если квадратные трехчлены \(x^2 + ax + b\) и \(x^2 + bx + 1100\) имеют общий простой корень.