Какие числа имеют наименьшее общее кратное 96, если их частное от деления на наибольший общий делитель равно

Markiz

52

Ладно, давайте попробуем решить эту задачу. Нам нужно найти числа, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 96 и их частное от деления на наибольший общий делитель (НОД) равно \(k\).

Возможные числа можно записать в виде \(a\) и \(b\), где НОК равно 96. Используем следующую формулу для НОК:

\[НОК(a, b) = \frac{{|a \cdot b|}}{{НОД(a, b)}}\]

Также, по определению, НОД делит каждое из чисел \(a\) и \(b\) без остатка. Поэтому можем записать:

\[a = k \cdot НОД(a, b)\]
\[b = k \cdot НОД(a, b)\]

Теперь подставим эти значения \(a\) и \(b\) в формулу для НОК и получим:

\[НОК(a, b) = \frac{{|k \cdot НОД(a, b) \cdot k \cdot НОД(a, b)|}}{{НОД(a, b)}} = k^2 \cdot НОД(a, b)\]

Мы знаем, что \(НОК(a, b) = 96\), поэтому:

\[96 = k^2 \cdot НОД(a, b)\]

Теперь нам нужно разложить 96 на простые множители, чтобы найти возможные значения для \(k\) и \(НОД(a, b)\). Разложим 96 следующим образом:

\[96 = 2^5 \cdot 3^1\]

Поскольку \(k^2 \cdot НОД(a, b)\) должно равняться 96, мы знаем, что \(k^2\) должно делиться на \(2^5\) и \(3^1\). Поскольку мы ищем наименьшее возможное значение для \(k\), возьмем максимально возможное значение для \(k\), которое делится на \(2^5\) и \(3^1\):

\(k = 2^2 \cdot 3^0 = 4\)

Теперь мы можем найти \(НОД(a, b)\):

\(НОД(a, b) = \frac{{96}}{{k^2}} = \frac{{96}}{{4^2}} = 6\)

Значит, числа \(a\) и \(b\) равны:

\(a = k \cdot НОД(a, b) = 4 \cdot 6 = 24\)

\(b = k \cdot НОД(a, b) = 4 \cdot 6 = 24\)

Проверим, что НОК чисел \(a\) и \(b\) равен 96:

\(НОК(a, b) = \frac{{|a \cdot b|}}{{НОД(a, b)}} = \frac{{|24 \cdot 24|}}{{6}} = \frac{{576}}{{6}} = 96\)

Таким образом, числа 24 и 24 имеют наименьшее общее кратное 96, если их частное от деления на наибольший общий делитель равно 4.