Какие числа образуют треугольник Паскаля для разложения двучлена (3а+2)^4 на коэффициенты?

Kosmicheskaya_Sledopytka_7228

65

Чтобы определить числа, образующие треугольник Паскаля для разложения двучлена \((3a+2)^4\) на коэффициенты, мы можем воспользоваться биномиальным разложением. Биномиальное разложение позволяет нам разложить двучлен в виде суммы слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение коэффициента и степени переменной.

Формула для биномиального разложения выглядит следующим образом:

\((a+b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n\),

где \(C_n^k\) - биномиальные коэффициенты, равные количеству комбинаций из \(n\) элементов по \(k\) элементов.

Разложим наше уравнение \((3a+2)^4\) с помощью биномиального разложения:

\((3a+2)^4 = C_4^0 \cdot (3a)^4 \cdot 2^0 + C_4^1 \cdot (3a)^3 \cdot 2^1 + C_4^2 \cdot (3a)^2 \cdot 2^2 + C_4^3 \cdot (3a)^1 \cdot 2^3 + C_4^4 \cdot (3a)^0 \cdot 2^4\).

Давайте вычислим каждый коэффициент поочередно:

\(C_4^0 = 1\), так как это количество комбинаций из \(4\) элементов, выбранных \(0\) элементами. \((3a)^4 = 81a^4\), а \(2^0 = 1\). Следовательно, первое слагаемое равно \(1 \cdot 81a^4 \cdot 1 = 81a^4\).

\(C_4^1 = 4\), так как это количество комбинаций из \(4\) элементов, выбранных \(1\) элементом. \((3a)^3 = 27a^3\), а \(2^1 = 2\). Второе слагаемое равно \(4 \cdot 27a^3 \cdot 2 = 216a^3\).

\(C_4^2 = 6\), так как это количество комбинаций из \(4\) элементов, выбранных \(2\) элементами. \((3a)^2 = 9a^2\), а \(2^2 = 4\). Третье слагаемое равно \(6 \cdot 9a^2 \cdot 4 = 216a^2\).

\(C_4^3 = 4\), так как это количество комбинаций из \(4\) элементов, выбранных \(3\) элементами. \((3a)^1 = 3a\), а \(2^3 = 8\). Четвертое слагаемое равно \(4 \cdot 3a \cdot 8 = 96a\).

\(C_4^4 = 1\), так как это количество комбинаций из \(4\) элементов, выбранных \(4\) элементами. \((3a)^0 = 1\), а \(2^4 = 16\). Пятое слагаемое равно \(1 \cdot 1 \cdot 16 = 16\).

Теперь соберем все слагаемые вместе:

\((3a+2)^4 = 81a^4 + 216a^3 + 216a^2 + 96a + 16\).

Таким образом, числа, образующие треугольник Паскаля для разложения двучлена \((3a+2)^4\) на коэффициенты, равны: \(81\), \(216\), \(216\), \(96\) и \(16\).