Какие числа, при среднем арифметическом, равным 36, отличаются друг от друга в 3 раза?

Лисенок

32

Для решения данной задачи нам понадобится использовать логический подход и ряд математических операций.

Предположим, что первое число в последовательности равно \(x\). Тогда второе число будет равно \(x + 3\), третье число будет равно \(x + 6\), и так далее.

Так как мы ищем числа, которые отличаются друг от друга в 3 раза, можем записать уравнение:

\[(x + (x + 3) + (x + 6) + \ldots + (x + 3n)) / (n + 1) = 36\]

где \(n\) - количество чисел в последовательности.

Давайте решим это уравнение шаг за шагом:

1. Разложим сумму последовательности в уравнении:

\[(nx + 3(1 + 2 + \ldots + n)) / (n + 1) = 36\]

2. Рассмотрим сумму чисел от 1 до \(n\). Сумма такой арифметической прогрессии равна \(\frac{{n(n + 1)}}{2}\). Подставим это в уравнение:

\[(nx + 3n(n+1)/2)/(n + 1) = 36\]

3. Упростим выражение, умножив оба числителя на \(2(n + 1)\):

\[2nx + 3n(n+1) = 72(n + 1)\]

4. Распишем скобки:

\[2nx + 3n^2 + 3n = 72n + 72\]

5. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[2nx - 72n - 3n^2 - 3n + 72 = 0\]

6. Упростим выражение:

\[2nx - 75n - 3n^2 + 72 = 0\]

7. Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулой для нахождения корней \(x = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a)\).

В нашем случае:

\(a = -3\), \(b = 2n - 75\), \(c = 72\).

Рассчитаем значение дискриминанта:

\[D = (2n - 75)^2 - 4(-3)(72)\]

8. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет решений.

Подставим значения в формулу:

\[D = (2n - 75)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 72\]

9. Вычислим дискриминант:

\[D = 4n^2 - 300n + 5625 + 864\]

10. Упростим выражение:

\[D = 4n^2 - 300n + 6489\]

11. Так как \(D\) представляет собой квадрат, то максимальное значение, которое может принять дискриминант, равно \((2n - 75)^2\).

Если \(D = (2n - 75)^2\), тогда:

\[(2n - 75)^2 = 4n^2 - 300n + 6489\]

12. Используем факт возведения в квадрат:

\[4n^2 - 300n + 5625 = 4n^2 - 300n + 6489\]

13. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[0 = 6489 - 5625\]

14. Упростим выражение:

\[0 = 864\]

15. Уравнение не имеет решений. Вероятно, допущена ошибка в формуле или условии задачи. Пожалуйста, проверьте условие задачи и формулы, которые были использованы для решения.

Приносим извинения за любые неудобства, возникшие в результате данной задачи. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте мне знать.