Какие цифры пропущены в числе 15∗6∗, если известно, что оно делится на 180? Укажите разность этих цифр

Pavel

41

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться системой уравнений.

Пусть пропущенные цифры в числе равны \( x \) и \( y \). Тогда число может быть записано как \( 156xy \).

Также нам дано условие, что число \( 156xy \) делится на 180. Это означает, что число должно быть кратно и 180, и 156, то есть:

\[ 156xy \, \vdots \, 180 \quad \text{и} \quad 156xy \, \vdots \, 156 \]

Следовательно, чтобы выполнить первое условие, число должно делиться и на 18, и на 10. Давайте определим, какие цифры могут быть вместо \( x \) и \( y \), чтобы это условие выполнилось.

Любое число, которое делится на 10, должно оканчиваться на ноль. Поэтому \( y = 0 \).

Теперь рассмотрим второе условие, что число должно делиться на 18. Число 156 делится на 18 без остатка, поэтому \( 0 = 156 \times 10 = 1560 \) должно делиться на 18. Мы можем также представить 18 как произведение 2 и 9, и поскольку 1560 делится на 2 без остатка, оно должно делиться и на 9.

Давайте проанализируем сумму цифр числа 1560:

\[ 1 + 5 + 6 + 0 = 12 \]

Так как 12 делится на 3, то исходное число также должно делиться на 3 без остатка.

Итак, мы получили, что число 1560 должно делиться на 9 и на 3. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9, а в нашем случае сумма цифр равна 12. Чтобы получить разность цифр, которую мы ищем, мы должны найти две цифры, которые в сумме дают 12, и при этом разница между цифрами равна разнице между двумя пропущенными цифрами \( x \) и \( y \).

Давайте придумаем все возможные комбинации цифр, дающие сумму 12:

\[ (9, 3), (8, 4), (7, 5), (6, 6), (5, 7), (4, 8), (3, 9) \]

Теперь, чтобы выяснить, какая из этих комбинаций подходит для нашей задачи, мы должны найти разницу между двумя цифрами каждой комбинации и сравнить ее с разностью \( x \) и \( y \).

Разницы для каждой комбинации:

\[
\begin{align*}
& 9 - 3 = 6 \\
& 8 - 4 = 4 \\
& 7 - 5 = 2 \\
& 6 - 6 = 0 \\
& 5 - 7 = -2 \\
& 4 - 8 = -4 \\
& 3 - 9 = -6 \\
\end{align*}
\]

Единственная комбинация, где разность равна 6 (как разности \( x \) и \( y \)), это (9, 3).

Таким образом, пропущенные цифры в числе \( 156xy \) равны 9 и 3, а разность между этими цифрами равна 6.