Какие длины имеют стороны треугольника, если медиана и высота, проведенная из вершины одного угла, делят угол

Магический_Тролль

47

Дано:
Пусть $ABC$ - треугольник, а $AD$ - медиана и $AH$ - высота, проведенная из вершины $A$. Для удобства обозначим точку, в которой медиана и высота пересекаются, как $M$. Тогда точка $M$ делит угол $BAC$ на три равные части.

Решение:
1. Поскольку медиана $AD$ равна, то она также является биссектрисой угла $BAC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

2. Так как медиана делит сторону треугольника пополам, то $AM=MD$. Также, так как высота проведена из вершины $A$, то треугольник $AMH$ является прямоугольным.

3. Так как медиана разделяет высоту треугольника в отношении 2:1, то можно сказать, что $AH=2HM$, и $MH=HD$.

4. Из пункта 2 мы знаем, что треугольник $AMH$ прямоугольный, поэтому можем применить теорему Пифагора:
$$A{M}^2=A{H}^2+M{H}^2$$
$$A{M}^2=4H{M}^2+H{M}^2$$
$$A{M}^2=5H{M}^2$$

5. Так как угол $BAC$ делится на три равные части, то в треугольнике $AMH$ угол $HAM$ равен ${60}^{\circ }$ (так как ${360}^{\circ }/6={60}^{\circ }$).

6. Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения отношений сторон треугольника $AMH$. Так как в этом треугольнике угол $HAM$ равен ${60}^{\circ }$, мы можем заметить, что это соответствует $\frac{\pi }{3}$ радиан. Тогда применим тригонометрические функции к углу $HAM$:
$$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{HM}{AH}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{HM}{AH}$$
$$HM=\frac{AH\sqrt{3}}{2}$$

7. Подставив полученное значение $HM$ в уравнение $A{M}^2=5H{M}^2$, получим:
$$A{M}^2=5{\left(\frac{AH\sqrt{3}}{2}\right)}^2$$
$$A{M}^2=\frac{5A{H}^2\cdot 3}{2}$$
$$A{M}^2=\frac{15A{H}^2}{2}$$

8. Так как медиана $AD$ равна, то $AM=AD$.

Итак, мы получили, что $AD=\frac{\sqrt{15}}{2}\cdot AH$.

Таким образом, длина стороны треугольника, на которую приходится медиана и высота, равна $\frac{\sqrt{15}}{2}$ раз длине высоты треугольника.