Какие из указанных наборов являются линейным подпространством?

Solnechnaya_Luna

55

Для определения, является ли набор подпространством, вам нужно проверить выполнение трех условий:

1. Ноль принадлежит набору: вектор нуля должен быть частью набора.
2. Замкнутость относительно сложения: если два вектора принадлежат набору, то их сумма также должна принадлежать набору.
3. Замкнутость относительно умножения на скаляр: если вектор принадлежит набору, то его умножение на любое число также должно принадлежать набору.

Давайте рассмотрим каждый набор по-отдельности.

1. Набор всех векторов в трехмерном пространстве:

Да, этот набор является линейным подпространством, так как он удовлетворяет всем трем условиям. Вектор нуля (0, 0, 0) является его частью, сумма любых двух векторов в трехмерном пространстве также будет вектором в трехмерном пространстве, и умножение любого вектора на скаляр также останется в трехмерном пространстве.

2. Набор всех векторов, параллельных плоскости z = 0:

Да, этот набор также является линейным подпространством. Вектор нуля (0, 0, 0) находится в этой плоскости и, следовательно, принадлежит набору. Сумма двух векторов, параллельных плоскости z = 0, также будет параллельна этой плоскости, и умножение вектора на скаляр также сохранит его параллельность с плоскостью.

3. Набор всех векторов, лежащих на прямой линии, проходящей через начало координат и точку (1, 1, 1):

Да, этот набор также является линейным подпространством. Вектор нуля (0, 0, 0) является его частью, так как он лежит на этой прямой. Сумма двух векторов, лежащих на этой прямой, также будет лежать на этой прямой. Умножение вектора на скаляр также сохранит его положение на прямой.

4. Набор всех симметричных матриц размером 2x2:

Да, этот набор также является линейным подпространством. Нулевая матрица является его частью. Сумма двух симметричных матриц также будет симметричной, и умножение матрицы на скаляр также останется симметричным.

Таким образом, все указанные наборы являются линейными подпространствами.