Какие должны быть значения m для того, чтобы корни уравнения x^2-2mx+m^2-1=0 находились в интервале между -2

Morskoy_Briz

61

Для того, чтобы корни уравнения \(x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0\) находились в интервале между -2 и 1, нужно найти значения параметра m, при которых дискриминант этого уравнения будет положительным, и корни будут находиться в интервале (-2, 1).

Дискриминант \(D\) уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем случае коэффициенты уравнения \(x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0\) равны: a = 1, b = -2m, c = m^2 - 1.
Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
\[D = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2-1) = 4m^2 - 4(m^2 - 1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4.\]

Дискриминант равен 4, что является положительным значением. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня.

Мы знаем, что корни \(x_1\) и \(x_2\) уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляются по формулам \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).
В нашем случае a = 1, b = -2m, c = m^2 - 1 и D = 4.

Подставим значения в формулы для вычисления корней:
\[x_1 = \frac{-(-2m) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{2m + 2}{2} = m + 1.\]
\[x_2 = \frac{-(-2m) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{2m - 2}{2} = m - 1.\]

Чтобы корни уравнения находились в интервале между -2 и 1, нужно, чтобы \(x_1\) и \(x_2\) лежали в этом интервале.
Из условия мы имеем: -2 < \(x_1\) < 1 и -2 < \(x_2\) < 1.

Подставим выражения для \(x_1\) и \(x_2\):
-2 < \(m + 1\) < 1 и -2 < \(m - 1\) < 1.

Решим неравенства:
-2 - 1 < m + 1 < 1 - 1 и -2 + 1 < m - 1 < 1 + 1.
-3 < m < 0 и -1 < m < 3.

Таким образом, значения m должны находиться в интервале от -1 до 0 и от 0 до 3, чтобы корни этого уравнения находились в указанном интервале (-2, 1).