Какие формулы можно использовать для вычисления n-го члена последовательности, основываясь на значениях первых четырех

Luna_V_Ocheredi

10

Для вычисления \(n\)-го члена данной последовательности, мы можем использовать следующую формулу:

\[a_n = \frac{{\sqrt{n + 1} - 1}}{{2n}}\].

Давайте разберемся, как мы дошли до этой формулы.

Наблюдая значения первых четырех членов последовательности, мы замечаем, что каждое следующее значение зависит от номера члена последовательности \(n\) и корня из \(n + 1\).

Для начала, давайте найдем значения первых четырех членов, используя данную формулу:

\(a_1 = \frac{{\sqrt{1 + 1} - 1}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\sqrt{2} - 1}}{{2}}\)

\(a_2 = \frac{{\sqrt{2 + 1} - 1}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{\sqrt{3} - 1}}{{4}}\)

\(a_3 = \frac{{\sqrt{3 + 1} - 1}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{\sqrt{4} - 1}}{{6}} = \frac{{1 - 1}}{{6}} = \frac{0}{6} = 0\)

\(a_4 = \frac{{\sqrt{4 + 1} - 1}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{\sqrt{5} - 1}}{{8}}\)

Теперь мы видим, что значения, полученные из нашей формулы, соответствуют заданным значениям первых четырех членов последовательности.

Чтобы вывести формулу, давайте рассмотрим шаги вычисления.

Перед всем важно заметить, что для данной последовательности значения в числителе каждого члена являются разностью корня из \(n + 1\) и 1. В знаменателе же имеем произведение чисел 2 и \(n\).

Теперь, когда мы знаем ключевые аспекты формулы, давайте объединим их в формулу:

\[a_n = \frac{{\sqrt{n + 1} - 1}}{{2n}}\].

Таким образом, используя данную формулу, мы можем вычислить любой член последовательности, основываясь на его номере \(n\) и значениях первых четырех членов.