Какие интервалы x удовлетворяют неравенству x^2 > -4x - 1, решенному графическим методом?

Радуга

25

Для начала, рассмотрим график функции \(f(x) = x^2 + 4x + 1\). Обратите внимание, что в данной задаче у нас неравенство \(x^2 > -4x - 1\), это означает, что мы ищем значения \(x\), для которых график функции находится выше оси \(x\).

Чтобы построить график функции, нам потребуется найти вершину параболы. Для параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\) вершина имеет координаты \((- \frac{b}{2a}, - \frac{D}{4a})\), где \(D\) - дискриминант, равный \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = 1\). Подставим эти значения в формулу для координат вершины и найдем:

\[
x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = -2
\]

Теперь найдем значение функции в этой точке:

\[
y_v = f(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3
\]

Получили, что вершина параболы находится в точке \((-2, -3)\). Теперь построим график функции:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-4 & 9 \\
-3 & 4 \\
-2 & -3 \\
-1 & -6 \\
0 & -1 \\
1 & 4 \\
2 & 9 \\
\end{array}
\]

График функции будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Координаты точки} & \text{Значение функции} \\
\hline
(x, y) & f(x) \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{c}
\\
\\
\\
\\
\\
\end{array} \\
\begin{array}{ccccccc}
\begin{array}{c}
\\
\end{array} & \begin{array}{c}
\\
\\
\\
\\
\\
\end{array} & \begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
\end{array}
\end{array} & \begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
\end{array}
\end{array} & \begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
\end{array}
\end{array} & \begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
\end{array}
\end{array} & \begin{array}{c}
\\
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\end{array}
\]

Теперь, чтобы определить интервалы \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^2 > -4x - 1\), нужно посмотреть, в каких областях график функции находится выше оси \(x\).

Мы видим, что график находится выше оси \(x\) для всех значений \(x\) в интервалах \((- \infty, -2)\) и \((0, + \infty)\). Обратите внимание, что точка \((-2, -3)\) не входит в эти интервалы, потому что для нее выполнено равенство \(x^2 = -4x - 1\), а не строгое неравенство.

Таким образом, интервалы \(x\), удовлетворяющие \(x^2 > -4x - 1\), это \((- \infty, -2)\) и \((0, + \infty)\).