Какие из чисел -1, 1/2 и -1/2 являются элементами множества m, где m - множество всех корней уравнения

Черная_Роза

62

Чтобы определить, какие из чисел -1, 1/2 и -1/2 являются элементами множества \(m\), мы должны найти все корни уравнения \(x^5+3x^4+x^3-1=0\) и проверить, входят ли данные числа в этот список корней.

Давайте решим уравнение пошагово. Предусмотрительностью будем использовать метод Рафа или графический метод. Начнем с построения графика функции \(f(x) = x^5+3x^4+x^3-1\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-3 & -13 \\
-2 & -3 \\
-1 & 1 \\
0 & -1 \\
1 & 4 \\
2 & 33 \\
\hline
\end{array}
\]

Из этого графика мы видим, что функция пересекает ось \(x\) три раза. Один из корней находится между -2 и -1, второй находится между -1 и 0, а третий находится между 1 и 2.

Теперь давайте продолжим решение уравнения. Мы можем использовать метод деления отрезка пополам, чтобы приблизиться к значениям корней с большей точностью.

1. На отрезке \([-2, -1]\):
- Вычислим значение функции в середине интервала: \(f(-\frac{3}{2}) = (\frac{-3}{2})^5 + 3(\frac{-3}{2})^4 + (\frac{-3}{2})^3 - 1 = -\frac{205}{16}\) (это отрицательное число).
- Значение функции в середине интервала меньше нуля, поэтому мы можем сделать вывод, что на этом интервале есть корень уравнения.

2. На отрезке \([-1, 0]\):
- Вычислим значение функции в середине интервала: \(f(-\frac{1}{2}) = (\frac{-1}{2})^5 + 3(\frac{-1}{2})^4 + (\frac{-1}{2})^3 - 1 = -\frac{1}{16}\) (это отрицательное число).
- Значение функции в середине интервала меньше нуля, поэтому и на этом интервале есть корень уравнения.

3. На отрезке \([1, 2]\):
- Вычислим значение функции в середине интервала: \(f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^5 + 3(\frac{3}{2})^4 + (\frac{3}{2})^3 - 1 = \frac{233}{16}\) (это положительное число).
- Так как значение функции в середине интервала больше нуля, уравнение не имеет корней на этом интервале.

Значит, корни уравнения \(x^5+3x^4+x^3-1=0\) находятся в интервалах \([-2, -1]\) и \([-1, 0]\). Исходя из этого, мы можем сказать, что только числа -1 и -1/2 являются элементами множества \(m\).

Таким образом, числа -1 и -1/2 являются элементами множества \(m\), а число 1/2 не является элементом множества \(m\).