На отрезке, найдите наименьшее значение функции y = 66тангенс x - 132x + 33 pi

Сквозь_Холмы

63

Для решения данной задачи, мы должны найти наименьшее значение функции \(y = 66\tan(x) - 132x + 33\pi\) на заданном отрезке. Чтобы найти минимальное значение функции, мы можем использовать производную. Рассмотрим каждый шаг по порядку:

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Обозначим производную как \(y"\).
\[y" = \frac{d}{dx} (66\tan(x) - 132x + 33\pi)\]

Шаг 2: Раскроем производную, используя правила дифференцирования. Вспомним, что производная тангенса равна квадратному корню из секанса в квадрате:
\[y" = 66 \sec^2(x) - 132\]

Шаг 3: Найдем точки, где производная равна нулю, так как минимальное значение функции может быть найдено в таких точках. То есть, нужно решить уравнение \(y" = 0\):
\[66 \sec^2(x) - 132 = 0\]

Шаг 4: Решим полученное уравнение:
\[66 \sec^2(x) = 132\]
\[\sec^2(x) = \frac{132}{66}\]
\[\sec^2(x) = 2\]
\[\sec(x) = \sqrt{2}\]

Шаг 5: Найдем значения \(x\), удовлетворяющие уравнению \(\sec(x) = \sqrt{2}\). Для этого возьмем обратный косеканс от обеих сторон уравнения:
\[x = \sec^{-1}(\sqrt{2})\]

Шаг 6: Используя калькулятор, найдем численное значение \(\sec^{-1}(\sqrt{2})\). Получаем \(x \approx 0.955\).

Шаг 7: Теперь, чтобы найти соответствующее значение функции \(y\), подставим \(x = 0.955\) в исходную функцию:
\[y = 66\tan(0.955) - 132(0.955) + 33\pi\]
\[y \approx 105.692 - 126.06 + 33\pi\]
\[y \approx -20.368 + 33\pi\]

Ответ: На отрезке, наименьшее значение функции \(y = 66\tan(x) - 132x + 33\pi\) равно \(y \approx -20.368 + 33\pi\) при \(x \approx 0.955\).