Какие координаты центра и радиус вписанной окружности в треугольник со сторонами 3x + 4y - 12 = 0, 4x - 3y + 12

Zhanna

48

Чтобы найти координаты центра вписанной окружности в треугольник, используем подсказку из учебника, которая говорит о том, что центр окружности равноудален от сторон треугольника. Используем это свойство, чтобы найти координаты центра окружности.

Начнем с решения уравнения первой стороны треугольника \(3x + 4y - 12 = 0\), поместив его в стандартную форму \(Ax + By + C = 0\):

\[3x + 4y - 12 = 0\]

Теперь найдем координаты точки пересечения этой стороны с осью \(x\) (где \(y = 0\)). Подставляем \(y = 0\) в уравнение:

\[3x + 4(0) - 12 = 0\]
\[3x - 12 = 0\]

Решая это уравнение, получим:

\[3x = 12\]
\[x = \dfrac{12}{3}\]
\[x = 4\]

Таким образом, точка пересечения стороны \(3x + 4y - 12 = 0\) с осью \(x\) имеет координаты (4, 0).

Аналогичным образом решим уравнение второй стороны треугольника \(4x - 3y + 12 = 0\), подставив \(y = 0\):

\[4x - 3(0) + 12 = 0\]
\[4x + 12 = 0\]

Решая это уравнение, получим:

\[4x = -12\]
\[x = \dfrac{-12}{4}\]
\[x = -3\]

Таким образом, точка пересечения стороны \(4x - 3y + 12 = 0\) с осью \(x\) имеет координаты (-3, 0).

Теперь находим середину отрезка, соединяющего точки пересечения сторон треугольника. Для этого находим среднее значение координат \(x\) этих точек:

\[x_{\text{центра}} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\]
\[x_{\text{центра}} = \dfrac{4 + (-3)}{2}\]
\[x_{\text{центра}} = \dfrac{1}{2}\]

Аналогично находим среднее значение координат \(y\) этих точек:

\[y_{\text{центра}} = \dfrac{y_1 + y_2}{2}\]
\[y_{\text{центра}} = \dfrac{0 + 0}{2}\]
\[y_{\text{центра}} = 0\]

Таким образом, координаты центра вписанной окружности в треугольник равны \(\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)\).

Теперь перейдем к нахождению радиуса вписанной окружности. Радиус можно найти, используя расстояние от центра окружности до любой стороны треугольника. Возьмем, например, сторону \(3x + 4y - 12 = 0\).

Для этого воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой:

\[d = \dfrac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

Подставляем значения:

\[d = \dfrac{|3\left(\dfrac{1}{2}\right) + 4(0) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\]

\[d = \dfrac{|1.5 - 12|}{\sqrt{9 + 16}}\]

\[d = \dfrac{10.5}{5}\]

\[d = 2.1\]

Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольник равен 2.1.

Итак, координаты центра вписанной окружности в треугольник - \(\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)\), а радиус равен 2.1.