Какие координаты имеет точка, которая находится на равном удалении от двух заданных точек и лежит на оси абсцисс?

Магическая_Бабочка

3

Чтобы найти координаты точки, которая находится на равном удалении от двух заданных точек и лежит на оси абсцисс, нам понадобится немного алгебры и геометрии.

Пусть заданные точки имеют координаты \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\). Также пусть искомая точка будет иметь координаты \((x, 0)\), так как она лежит на оси абсцисс.

Расстояние от искомой точки до первой заданной точки можно выразить с помощью формулы расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

\[d_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (0 - y_1)^2}\]

Аналогичным образом, расстояние от искомой точки до второй заданной точки будет:

\[d_2 = \sqrt{(x - x_2)^2 + (0 - y_2)^2}\]

Так как искомая точка находится на равном удалении от обеих заданных точек, то \(d_1 = d_2\).

Подставляя значения расстояний в уравнение, получим:

\[\sqrt{(x - x_1)^2 + (0 - y_1)^2} = \sqrt{(x - x_2)^2 + (0 - y_2)^2}\]

Поскольку нас интересует координата \(x\), то стоит возвести обе части уравнения в квадрат:

\[(x - x_1)^2 + y_1^2 = (x - x_2)^2 + y_2^2\]

Раскрыв скобки, получим:

\[x^2 - 2x_1x + x_1^2 + y_1^2 = x^2 - 2x_2x + x_2^2 + y_2^2\]

Вычитая \(x^2\) и \(x_1^2 + y_1^2\) из обеих частей уравнения, упростим его:

\[-2x_1x = -2x_2x + x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2\]

Исключая \(x\) из обеих частей, получим:

\[x = \frac{x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2}{2(x_2 - x_1)}\]

Таким образом, мы получили формулу для нахождения \(x\)-координаты искомой точки. Чтобы найти \(y\)-координату, мы просто подставляем полученное значение \(x\) в исходные уравнения точек.

Например, если первая заданная точка имеет координаты \((2, 3)\), а вторая точка имеет координаты \((-1, 4)\), то подставим эти значения в формулу:

\[x = \frac{(-1)^2 + 4^2 - 2^2 - 3^2}{2((-1) - 2)} = \frac{1 + 16 - 4 - 9}{2(-3)} = -\frac{12}{-6} = 2\]

Таким образом, искомая точка будет иметь координаты \((2, 0)\).