Какие координаты имеет точка пересечения диагоналей параллелограмма с вершинами А(–2;3), В(0;4), C(5;1), и D(3;0)?

Raduga_Na_Zemle

7

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма, нам понадобится использовать свойства параллелограмма и формулы для нахождения точки пересечения двух прямых.

1. Найдем середины сторон параллелограмма.

Середина отрезка AB:
\[ x_{AB} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2+0}{2} = -1 \]
\[ y_{AB} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3+4}{2} = \frac{7}{2} \]

Середина отрезка CD:
\[ x_{CD} = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{5+3}{2} = 4 \]
\[ y_{CD} = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2} \]

2. Теперь, используя середины сторон AB и CD, найдем уравнения диагоналей параллелограмма.

Уравнение диагонали AC:
\[ y - y_A = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}(x - x_A) \]
\[ y - 3 = \frac{\frac{1}{2} - 3}{4 - (-2)}(x - (-2)) \]
\[ y - 3 = \frac{-\frac{5}{2}}{6}(x + 2) \]
\[ y - 3 = -\frac{5}{12}(x + 2) \]
\[ y - 3 = -\frac{5}{12}x - \frac{5}{6} \]

Уравнение диагонали BD:
\[ y - y_B = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B}(x - x_B) \]
\[ y - 4 = \frac{0 - 4}{3 - 0}(x - 0) \]
\[ y - 4 = -\frac{4}{3}x \]

3. Дальше, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений диагоналей AC и BD, чтобы найти точку пересечения.

\[
\begin{cases}
y - 3 = -\frac{5}{12}x - \frac{5}{6} \\
y - 4 = -\frac{4}{3}x
\end{cases}
\]

Для этого можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения и вычитания. В данном случае воспользуемся методом сложения и вычитания.

Вычитаем второе уравнение из первого:
\[ (-\frac{5}{12}x - \frac{5}{6}) - (-\frac{4}{3}x) = 0 \]
\[ -\frac{5}{12}x - \frac{5}{6} + \frac{4}{3}x = 0 \]
\[ -\frac{5}{12}x + \frac{4}{3}x - \frac{5}{6} = 0 \]
\[ -\frac{1}{12}x - \frac{5}{6} = 0 \]

Далее, решим полученное уравнение относительно x:
\[ -\frac{1}{12}x - \frac{5}{6} = 0 \]
\[ -\frac{1}{12}x = \frac{5}{6} \]
\[ x = \frac{5}{6} \cdot (-12) \]
\[ x = -10 \]

Теперь подставим найденное значение x в одно из исходных уравнений (например, в уравнение диагонали AC) и найдем соответствующее значение y:
\[ y - 3 = -\frac{5}{12}x - \frac{5}{6} \]
\[ y - 3 = -\frac{5}{12} \cdot (-10) - \frac{5}{6} \]
\[ y - 3 = \frac{25}{12} - \frac{5}{6} \]
\[ y - 3 = \frac{25}{12} - \frac{10}{12} \]
\[ y - 3 = \frac{15}{12} \]
\[ y - 3 = \frac{5}{4} \]
\[ y = \frac{5}{4} + 3 \]
\[ y = \frac{5}{4} + \frac{12}{4} \]
\[ y = \frac{17}{4} \]

Итак, точка пересечения диагоналей параллелограмма имеет координаты (-10, 17/4).