Какие координаты имеет точка, полученная поворотом точки р (1; 0) на угол (k — целое число)? Варианты ответов

Solnyshko

32

Чтобы найти координаты точки, полученной поворотом точки \(P(1, 0)\) на угол \(k\) (где \(k\) - целое число), мы можем использовать тригонометрические формулы.

При повороте на угол \(\theta\) с центром в начале координат, координаты точки \((x, y)\) изменяются следующим образом:

\[x" = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta)\]
\[y" = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta)\]

В нашем случае, точка \(P(1, 0)\) находится на оси \(x\) и имеет \(y = 0\).

Таким образом, координаты новой точки после поворота будут:

\[x" = 1 \cdot \cos(k) - 0 \cdot \sin(k) = \cos(k)\]
\[y" = 1 \cdot \sin(k) + 0 \cdot \cos(k) = \sin(k)\]

Теперь нам нужно найти значения \(\cos(k)\) и \(\sin(k)\) для каждого из вариантов ответов.

1) \(x" = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0\), \(y" = \sin(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -1\)
2) \(x" = \cos(\frac{5\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = 0\), \(y" = \sin(\frac{5\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1\)
3) \(x" = \cos(\frac{7\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{7\pi}{2}) = 0\), \(y" = \sin(\frac{7\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{7\pi}{2}) = -1\)
4) \(x" = \cos(-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{9\pi}{2}) = 0\), \(y" = \sin(-\frac{9\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(-\frac{9\pi}{2}) = 1\)

Таким образом, только варианты ответов 2) и 4) дают точки с координатами \((0, 1)\) и \((0, -1)\) соответственно.

Ответ: точка, полученная поворотом точки \(P(1,0)\) на угол \(k\) (где \(k\) - целое число), имеет координаты \((0, 1)\) при \(k = 2\pi n + \frac{5\pi}{2}\) и координаты \((0, -1)\) при \(k = 2\pi n - \frac{9\pi}{2}\), где \(n\) - любое целое число.