Какие координаты точек С и D параллелограмма АВСD, если точки А (-2; -4; 1) и В (-5; -6; -1) являются его вершинами

Александрович

12

Чтобы найти координаты точек С и D параллелограмма АВСD, мы можем использовать свойство параллелограмма, согласно которому вектор, соединяющий середины диагоналей, равен полусумме векторов, соединяющих вершины параллелограмма. Итак, давайте начнем:

1. Найдем координаты середины диагонали.

Чтобы найти координаты середины отрезка между точками А и В, мы можем использовать формулу:
\[x = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]
\[z = \frac{{z_1 + z_2}}{2}\]

Подставляя значения координат точек А (-2; -4; 1) и В (-5; -6; -1), мы получим:

Для точки М (середина диагонали) -
\[x = \frac{{-2 + (-5)}}{2} = -\frac{7}{2}\]
\[y = \frac{{-4 + (-6)}}{2} = -5\]
\[z = \frac{{1 + (-1)}}{2} = 0\]

2. Найдем векторы, соединяющие вершины параллелограмма.

Вектор, соединяющий точки А и В, можно получить, вычислив разность между их координатами:

\[\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\]
\[\vec{AB} = (-5 - (-2), -6 - (-4), -1 - 1)\]
\[\vec{AB} = (-3, -2, -2)\]

3. Найдем вектор, соединяющий точку М и точку О.

Вектор, соединяющий точки М и О, можно получить, вычислив разность между их координатами:

\[\vec{MO} = (x_O - x_M, y_O - y_M, z_O - z_M)\]
\[\vec{MO} = (1 - (-\frac{7}{2}), 3 - (-5), 2 - 0)\]
\[\vec{MO} = (\frac{9}{2}, 8, 2)\]

4. Теперь найдем координаты точек С и D.

Так как вектор, соединяющий середины диагоналей (вектор \(\vec{MO}\)), равен полусумме векторов, соединяющих вершины параллелограмма (вектор \(\vec{AB}\)), то:

\[\vec{MO} = \frac{\vec{AC} + \vec{BD}}{2}\]

Где \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) - векторы, соединяющие вершины параллелограмма.

Таким образом, мы можем записать:

\[\vec{BD} = 2\vec{MO} - \vec{AC}\]

Подставляя значения, получим:

\(\vec{BD} = 2(\frac{9}{2}, 8, 2) - (-3, -2, -2)\)
\(\vec{BD} = (9, 16, 4) - (-3, -2, -2)\)
\(\vec{BD} = (9 + 3, 16 + 2, 4 + 2)\)
\(\vec{BD} = (12, 18, 6)\)

Теперь у нас есть вектор \(\vec{BD} = (12, 18, 6)\). Чтобы найти координаты точки D, добавим этот вектор к координатам точки М:

\(x_D = x_M + 12 = -\frac{7}{2} + 12 = \frac{17}{2}\)
\(y_D = y_M + 18 = -5 + 18 = 13\)
\(z_D = z_M + 6 = 0 + 6 = 6\)

Таким образом, получаем координаты точки D: (17/2; 13; 6).

Точка С будет иметь такие же координаты, как и точка B, так как они являются вершинами параллелограмма.

Таким образом, координаты точки C: (-5; -6; -1).

Итак, координаты точек C и D параллелограмма ABCD: C (-5; -6; -1) и D (17/2; 13; 6).