Какие координаты точек С и D параллелограмма АВСD, если точки А (-2; -4; 1) и В (-5; -6; -1) являются его вершинами

Александрович

12

Чтобы найти координаты точек С и D параллелограмма АВСD, мы можем использовать свойство параллелограмма, согласно которому вектор, соединяющий середины диагоналей, равен полусумме векторов, соединяющих вершины параллелограмма. Итак, давайте начнем:

1. Найдем координаты середины диагонали.

Чтобы найти координаты середины отрезка между точками А и В, мы можем использовать формулу:
$$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$
$$y=\frac{y_1+y_2}{2}$$
$$z=\frac{z_1+z_2}{2}$$

Подставляя значения координат точек А (-2; -4; 1) и В (-5; -6; -1), мы получим:

Для точки М (середина диагонали) -
$$x=\frac{-2+(-5)}{2}=-\frac{7}{2}$$
$$y=\frac{-4+(-6)}{2}=-5$$
$$z=\frac{1+(-1)}{2}=0$$

2. Найдем векторы, соединяющие вершины параллелограмма.

Вектор, соединяющий точки А и В, можно получить, вычислив разность между их координатами:

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$$
$$\overrightarrow{AB}=(-5-(-2),-6-(-4),-1-1)$$
$$\overrightarrow{AB}=(-3,-2,-2)$$

3. Найдем вектор, соединяющий точку М и точку О.

Вектор, соединяющий точки М и О, можно получить, вычислив разность между их координатами:

$$\overrightarrow{MO}=(x_O-x_M,y_O-y_M,z_O-z_M)$$
$$\overrightarrow{MO}=(1-(-\frac{7}{2}),3-(-5),2-0)$$
$$\overrightarrow{MO}=(\frac{9}{2},8,2)$$

4. Теперь найдем координаты точек С и D.

Так как вектор, соединяющий середины диагоналей (вектор $\overrightarrow{MO}$), равен полусумме векторов, соединяющих вершины параллелограмма (вектор $\overrightarrow{AB}$), то:

$$\overrightarrow{MO}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}}{2}$$

Где $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ - векторы, соединяющие вершины параллелограмма.

Таким образом, мы можем записать:

$$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{AC}$$

Подставляя значения, получим:

$\overrightarrow{BD}=2(\frac{9}{2},8,2)-(-3,-2,-2)$
$\overrightarrow{BD}=(9,16,4)-(-3,-2,-2)$
$\overrightarrow{BD}=(9+3,16+2,4+2)$
$\overrightarrow{BD}=(12,18,6)$

Теперь у нас есть вектор $\overrightarrow{BD}=(12,18,6)$. Чтобы найти координаты точки D, добавим этот вектор к координатам точки М:

$x_D=x_M+12=-\frac{7}{2}+12=\frac{17}{2}$
$y_D=y_M+18=-5+18=13$
$z_D=z_M+6=0+6=6$

Таким образом, получаем координаты точки D: (17/2; 13; 6).

Точка С будет иметь такие же координаты, как и точка B, так как они являются вершинами параллелограмма.

Таким образом, координаты точки C: (-5; -6; -1).

Итак, координаты точек C и D параллелограмма ABCD: C (-5; -6; -1) и D (17/2; 13; 6).