Какие модули имеют векторы начальной скорости и ускорения прямолинейного движения тела, описываемого уравнением

Mango

53

Для начала, давайте разберем уравнение движения, данное в задаче: \(x = -2t^2 + 4t + 3\).

Чтобы найти вектор начальной скорости (\(\vec{v}\)), нужно найти производную от \(x\) по времени \(t\). Так как коэффициенты перед \(t\) в уравнении являются константами, мы можем их проигнорировать при дифференцировании, а затем придать им значения. Дифференцируем уравнение по \(t\):

\(\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d(-2t^2 + 4t + 3)}}{{dt}} = -4t + 4\)

Получили, что \(\vec{v} = -4t + 4\).

Теперь давайте найдем вектор ускорения (\(\vec{a}\)) путем дифференцирования вектора начальной скорости по времени:

\(\frac{{d\vec{v}}}{{dt}} = \frac{{d(-4t + 4)}}{{dt}} = -4\)

Получили, что \(\vec{a} = -4\).

Теперь давайте ответим на вопрос о характере движения. Если вектор ускорения (\(\vec{a}\)) отрицательный, то движение является замедленным. Если вектор ускорения положительный, то движение является ускоренным. В данном случае, так как \(\vec{a} = -4\), то движение является замедленным.

Далее, давайте найдем координату тела в момент времени \(t_1 = 2\) секунды. Для этого подставим значение \(t_1\) в уравнение движения \(x = -2t^2 + 4t + 3\):

\(x = -2(2)^2 + 4(2) + 3 = -8 + 8 + 3 = 3\)

Таким образом, координата тела в момент времени \(t_1 = 2\) секунды равна 3.

И, наконец, найдем путь, пройденный телом за время \(t_1\). Путь можно найти, проинтегрировав модуль вектора начальной скорости (\(|\vec{v}|\)) по времени от 0 до \(t_1 = 2\) секунд:

\(S_x = \int_0^{t_1} |\vec{v}| dt = \int_0^2 |(-4t + 4)| dt\)

Давайте разобьем этот интеграл на две части:

\(S_x = \int_0^2 (4t - 4) dt + \int_0^2 (-4t + 4) dt\)

Теперь проинтегрируем каждую часть по отдельности:

\(\int_0^2 (4t - 4) dt = 2t^2 - 4t \Bigg|_0^2 = 2(2)^2 - 4(2) - (2(0)^2 - 4(0)) = 4 - 8 = -4\)

\(\int_0^2 (-4t + 4) dt = -2t^2 + 4t \Bigg|_0^2 = -2(2)^2 + 4(2) - (-2(0)^2 + 4(0)) = -8 + 8 = 0\)

Теперь сложим полученные значения:

\(S_x = -4 + 0 = -4\)

Таким образом, путь, пройденный телом за время \(t_1 = 2\) секунды, равен -4.

Итак, в результате получаем следующий ответ на задачу:
Вектор начальной скорости: \(|\vec{v}| = 4\) м/с.
Вектор ускорения: \(|\vec{a}| = 4\) м/с.
Движение является замедленным.
Координата тела в момент времени \(t_1 = 2\) секунды: \(x = 3\).
Путь, пройденный телом за время \(t_1\): \(S_x = -4\).