Какие параллелограммы могут быть ромбами при заданных значениях их диагоналей и стороны? 1) d1=20, d2=48, a=26

Сергей

46

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1) Пусть \(d_1 = 20\) и \(d_2 = 48\) -- диагонали параллелограмма, а \(a = 26\) -- его сторона. Чтобы определить, может ли такой параллелограмм быть ромбом, нужно проверить два условия:

1.1) Прямоугольник: Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является прямоугольником.

В нашем случае, чтобы диагонали были перпендикулярными, их произведение должно быть равно 0: \(d_1 \cdot d_2 = 20 \cdot 48 = 960\). Так как 960 не равно 0, параллелограмм не является прямоугольником.

1.2) Равенство длин сторон: Ромб — это частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.

В нашем случае, все стороны должны быть равны \(a = 26\). Проверим, равны ли диагонали сторонам:
\(\sqrt{d_1^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{20^2 + \frac{26^2}{4}} = \sqrt{400 + 169} = \sqrt{569} \approx 23,85\),
\(\sqrt{d_2^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{48^2 + \frac{26^2}{4}} = \sqrt{2304 + 169} = \sqrt{2473} \approx 49,73\).

Так как длины диагоналей не равны длине стороны \(a\), параллелограмм не является ромбом.

2) Пусть \(d_1 = 32\), \(d_2 = 40\), и \(a = 26\). Опять же, проверяем два условия:

2.1) Прямоугольник: Рассчитаем произведение диагоналей: \(d_1 \cdot d_2 = 32 \cdot 40 = 1280\). В данном случае, произведение не равно 0, поэтому параллелограмм не является прямоугольником.

2.2) Равенство длин сторон: Проверим равенство сторон:

\(\sqrt{d_1^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{32^2 + \frac{26^2}{4}} = \sqrt{1024 + 169} = \sqrt{1193} \approx 34,52\),
\(\sqrt{d_2^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{40^2 + \frac{26^2}{4}} = \sqrt{1600 + 169} = \sqrt{1769} \approx 42,06\).

Длины диагоналей не равны длине стороны \(a\), поэтому параллелограмм не является ромбом.

3) Пусть \(d_1 = 48\), \(d_2 = 14\), и \(a = 25\). Проверяем условия:

3.1) Прямоугольник: Рассчитываем произведение диагоналей: \(d_1 \cdot d_2 = 48 \cdot 14 = 672\). Произведение не равно 0, поэтому параллелограмм не является прямоугольником.

3.2) Равенство длин сторон: Проверяем равенство сторон:

\(\sqrt{d_1^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{48^2 + \frac{25^2}{4}} = \sqrt{2304 + 156.25} = \sqrt{2460.25} \approx 49.60\),
\(\sqrt{d_2^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{14^2 + \frac{25^2}{4}} = \sqrt{196 + 156.25} = \sqrt{352.25} \approx 18.76\).

Длины диагоналей не равны длине стороны \(a\), поэтому параллелограмм не является ромбом.

4) Пусть \(d_1 = 14\), \(d_2 = 24\), и \(a = 15\). Проверяем условия:

4.1) Прямоугольник: Рассчитываем произведение диагоналей: \(d_1 \cdot d_2 = 14 \cdot 24 = 336\). Произведение не равно 0, поэтому параллелограмм не является прямоугольником.

4.2) Равенство длин сторон: Проверяем равенство сторон:

\(\sqrt{d_1^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{14^2 + \frac{15^2}{4}} = \sqrt{196 + 56.25} = \sqrt{252.25} \approx 15.88\),
\(\sqrt{d_2^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{24^2 + \frac{15^2}{4}} = \sqrt{576 + 56.25} = \sqrt{632.25} \approx 25.15\).

Длины диагоналей не равны длине стороны \(a\), поэтому параллелограмм не является ромбом.

5) Пусть \(d_1 = 13\), \(d_2 = 15\), и \(a = 17\). Проверяем условия:

5.1) Прямоугольник: Рассчитываем произведение диагоналей: \(d_1 \cdot d_2 = 13 \cdot 15 = 195\). Произведение не равно 0, поэтому параллелограмм не является прямоугольником.

5.2) Равенство длин сторон: Проверяем равенство сторон:

\(\sqrt{d_1^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{13^2 + \frac{17^2}{4}} = \sqrt{169 + 289} = \sqrt{458} \approx 21.40\),
\(\sqrt{d_2^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{15^2 + \frac{17^2}{4}} = \sqrt{225 + 289} = \sqrt{514} \approx 22.67\).

Длины диагоналей не равны длине стороны \(a\), поэтому параллелограмм не является ромбом.

### Общий вывод:

При заданных значениях диагоналей и стороны для каждого из примеров, получается, что ни один из параллелограммов не является ромбом. Мы провели проверку двух условий -- параллелограмм может быть ромбом только если удовлетворены оба условия.