Какие промежуточные вычисления необходимы для нахождения второй производной функции, заданной параметрически

Морж

24

Для нахождения второй производной функции, заданной параметрически с использованием уравнений \(x = \cos(t)\) и \(y = \sin(t)\), нам необходимо сначала выразить t через x или y, а затем продифференцировать дважды.

Решение:

1. Используя уравнение \(x = \cos(t)\), мы можем выразить t через x, применив обратную функцию косинуса (арккосинус): \(t = \arccos(x)\).

2. Дифференцируем это уравнение по t, чтобы найти первую производную по x:
\[\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(\arccos(x))\]

Обратите внимание, что \(\frac{dt}{dx}\) представляет собой дифференциал зависимой переменной t от независимой переменной x.

3. Для нахождения \(\frac{dt}{dx}\) используем известное правило дифференцирования композиции функций: если \(y = f(g(x))\), то \(\frac{dy}{dx} = f"(g(x)) \cdot g"(x)\). Применим это правило к нашему случаю:
\[\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(\arccos(x)) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{dx}{dt}\]

4. Теперь нам нужно найти \(\frac{dx}{dt}\). Используя уравнение \(x = \cos(t)\), дифференцируем его по t:
\[\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos(t)) = -\sin(t)\]

5. Подставим это значение обратно в наше выражение для \(\frac{dt}{dx}\):
\[\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot (-\sin(t)) = \frac{\sin(t)}{\sqrt{1-x^2}}\]

6. Теперь нам нужно найти вторую производную \( \frac{d^2t}{dx^2} \). Для этого снова дифференцируем выражение \(\frac{dt}{dx}\) по x:
\[\frac{d^2t}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dt}{dx}\right)\]

7. Используя правило дифференцирования частного, мы можем записать:
\[\frac{d^2t}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(t)}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{dx}{dt}\]

8. Подставляем значение \(\frac{dx}{dt}\), которое мы нашли ранее:
\[\frac{d^2t}{dx^2} = \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \left(-\sin(t)\right) = -\frac{\cos(t)\sin(t)}{\sqrt{1-x^2}}\]

Итак, мы получили выражение для второй производной функции, заданной параметрически с использованием уравнений \(x = \cos(t)\) и \(y = \sin(t)\):
\[\frac{d^2t}{dx^2} = -\frac{\cos(t)\sin(t)}{\sqrt{1-x^2}}\]

Обратите внимание, что это выражение может быть упрощено дальше, используя тригонометрические тождества, или может быть выражено через x и y, заменив t обратно в уравнение \(x = \cos(t)\), но это уже более сложные действия, требующие дополнительных шагов. В этом ответе мы только нашли выражение для второй производной в терминах параметра t.