Какие размеры имеет прямоугольник, нарисованный на клетчатой бумаге по линиям сетки, если внутри него оказалось

Strekoza

9

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся сначала, что представляют собой отрезки сетки и узлы.

Отрезки сетки - это отрезки, проходящие по вертикальным и горизонтальным линиям клетчатой бумаги. Они разделяют прямоугольник на маленькие одинаковые клетки. Каждый отрезок сетки имеет длину, которую мы пока не знаем.

Узлы - это точки, где пересекаются вертикальные и горизонтальные линии сетки. В каждом узле сходятся четыре отрезка сетки.

Задача говорит, что внутри прямоугольника оказалось на 90 одиночных отрезков сетки больше, чем узлов. Это означает, что общее количество отрезков сетки внутри прямоугольника на 90 больше, чем общее количество узлов.

Чтобы найти размеры прямоугольника, мы должны представить количество отрезков сетки и количество узлов в виде формулы.

Предположим, что прямоугольник имеет \(x\) горизонтальных и \(y\) вертикальных отрезков сетки. Общее количество отрезков сетки внутри прямоугольника будет равно произведению \(x\) и \(y\), то есть \(xy\).

Общее количество узлов внутри прямоугольника будет равно количеству узлов на горизонтальных линиях плюс количество узлов на вертикальных линиях минус четыре угловых узлов. Количество узлов на горизонтальных линиях будет равно \(x + 1\), а количество узлов на вертикальных линиях будет равно \(y + 1\). Таким образом, общее количество узлов будет равно \((x + 1)(y + 1) - 4\).

По условию задачи, количество отрезков сетки на 90 больше, чем количество узлов. Мы можем записать это в виде уравнения:

\(xy = (x + 1)(y + 1) - 4 + 90\)

Раскроем скобки:

\(xy = xy + x + y + 1 - 4 + 90\)

Сократим одинаковые члены:

\(x + y - 4 + 90 = 0\)

\(x + y + 86 = 0\)

Теперь выразим, например, \(y\) через \(x\):

\(y = -x - 86\)

Мы получили уравнение, которое связывает \(x\) и \(y\):

\(y = -x - 86\)

Теперь мы можем выбрать любое значение для \(x\), а затем вычислить соответствующее значение для \(y\). Например, если \(x = 2\), то \(y = -2 - 86 = -88\). Однако в данном контексте отрицательные значения не имеют смысла, поэтому мы рассмотрим только положительные значения.

Ответ на вопрос задачи - прямоугольник имеет размеры \(x\) и \(y\), где \(x > 0\) и \(y > 0\), а \(y = -x - 86\).