Какие скорости имеют два спортсмена, если они решили пробежать 44 км и один из них пришел к финишу на 20 минут раньше

Skorostnoy_Molot

20

Дана задача о двух спортсменах, которые решили пробежать 44 километра. Один из спортсменов пришел к финишу на 20 минут раньше другого, а также известно, что скорость одного спортсмена на 1 километр в час меньше, чем у другого.

Пусть \(v_1\) обозначает скорость первого спортсмена, а \(v_2\) - скорость второго спортсмена. Чтобы найти скорости каждого спортсмена, мы можем воспользоваться формулой для расстояния:

\[v = \frac{S}{t}\],

где \(v\) - скорость, \(S\) - расстояние, и \(t\) - время.

Первый шаг, который необходимо выполнить, это установить связь между скоростями спортсменов на основе условия, что скорость одного спортсмена на 1 километр в час меньше, чем у другого. Обозначим скорость первого спортсмена как \(v_1\) и второго спортсмена как \(v_2\). Тогда можно записать следующее уравнение:

\[v_1 = v_2 + 1\].

Для определения значений скоростей нам необходимы дополнительные сведения о времени, затраченном каждым спортсменом на пробежку 44 километра и о разнице во времени прихода второго спортсмена к финишу.

Пусть \(t_1\) обозначает время, затраченное первым спортсменом, а \(t_2\) - время, затраченное вторым спортсменом.
Тогда мы можем записать следующие уравнения:

\[t_1 = t_2 - 20\],
\[\frac{44}{v_1} = t_1\],
\[\frac{44}{v_2} = t_2\].

Для удобства решения задачи, представим уравнение \(t_1 = t_2 - 20\) в виде \(t_2 = t_1 + 20\).

Подставим значения \(t_1\) и \(t_2\) в уравнения \(\frac{44}{v_1} = t_1\) и \(\frac{44}{v_2} = t_2\):

\[\frac{44}{v_1} = t_1 = t_2 - 20 = \frac{44}{v_2} - 20\].

Теперь мы можем выразить \(t_2\) через \(v_1\) и \(v_2\):

\[t_2 = \frac{44}{v_2}\].

Подставим это значение обратно в уравнение:

\[\frac{44}{v_1} = \frac{44}{v_2} - 20\].

Избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на \(v_1 \cdot v_2\):

\[44 \cdot v_2 = 44 \cdot v_1 - 20 \cdot v_1 \cdot v_2\].

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:

\[44 \cdot v_1 + 20 \cdot v_1 \cdot v_2 = 44 \cdot v_2\].

Вынесем общий множитель \(v_1\) за скобки и сгруппируем слагаемые с \(v_2\):

\[v_1 \cdot (44 + 20 \cdot v_2) = 44 \cdot v_2\].

Делим обе части уравнения на \(v_2\):

\[v_1 = \frac{44 \cdot v_2}{44 + 20 \cdot v_2}\].

Теперь, используя уравнение \(v_1 = v_2 + 1\), можем выразить \(v_2\) через \(v_1\):

\[v_2 = v_1 - 1\].

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[v_1 = \frac{44 \cdot v_2}{44 + 20 \cdot v_2}\],
\[v_2 = v_1 - 1\].

Мы можем решить эту систему уравнений для определения значений \(v_1\) и \(v_2\).

Подставим \(v_2 = v_1 - 1\) в первое уравнение:

\[v_1 = \frac{44 \cdot (v_1 - 1)}{44 + 20 \cdot (v_1 - 1)}\].

Раскрываем скобки:

\[v_1 = \frac{44 \cdot v_1 - 44}{44 + 20 \cdot v_1 - 20}\].

Упрощаем выражение:

\[v_1 = \frac{44 \cdot v_1 - 44}{24 \cdot v_1 + 24}\].

Теперь избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на \(24 \cdot v_1 + 24\):

\[v_1 \cdot (24 \cdot v_1 + 24) = 44 \cdot v_1 - 44\].

Раскрываем скобки:

\[24 \cdot v_1^2 + 24 \cdot v_1 = 44 \cdot v_1 - 44\].

Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения:

\[24 \cdot v_1^2 - 20 \cdot v_1 - 44 = 0\].

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить, используя квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

Воспользуемся формулой для вычисления корней квадратного уравнения:

\[v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\].

Применим эту формулу к нашему уравнению:

\[a = 24\],
\[b = -20\],
\[c = -44\].

Подставим значения в формулу:

\[v_1 = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-44)}}{2 \cdot 24}\].

Упростим выражение:

\[v_1 = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 4224}}{48}\].

Подсчитаем значение под корнем:

\[v_1 = \frac{20 \pm \sqrt{4624}}{48}\].

Упростим всё это:

\[v_1 = \frac{20 \pm 68}{48}\].

Разделим числитель на знаменатель:

\[v_1 = \frac{20}{48} \pm \frac{68}{48}\].

Сократим дроби:

\[v_1 = \frac{5}{12} \pm \frac{17}{12}\].

Теперь найдем значения \(v_1\):

\[v_1 = \frac{5}{12} + \frac{17}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}\],
\[v_1 = \frac{5}{12} - \frac{17}{12} = \frac{-12}{12} = -1\].

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(v_1\): \(\frac{11}{6}\) и -1.

Чтобы определить значения \(v_2\), мы можем использовать уравнение \(v_2 = v_1 - 1\):

\[v_2 = \frac{11}{6} - 1 = \frac{-1}{6}\],
\[v_2 = -1 - 1 = -2\].

Итак, скорости спортсменов составляют:

Спортсмен 1: \(v_1 = \frac{11}{6}\) км/ч
Спортсмен 2: \(v_2 = -2\) км/ч

Обратите внимание, что отрицательное значение скорости для спортсмена 2 является математическим результатом и не имеет физического смысла в данной задаче. Поэтому, реально существует только одно решение: спортсмен 1 бежит со скоростью \(v_1 = \frac{11}{6}\) км/ч, а спортсмен 2 - со скоростью \(v_2 = -2\) км/ч.