Найдите производную в точке x0: y=sin(pi/6+2x) x0=pi/12 y=ctg6x x0=pi/24 y=sin(pi/3-2x) x0=pi/3

Валерия

70

Хорошо, давайте ответим на задачу и найдем производные в заданных точках.

1. Найдем производную функции \(y = \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2x\)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{12}\).

Для начала, обратимся к формуле для производной функции синуса: \(\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)\).

Применим это к нашей функции: \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + 2x\right)\).

Теперь найдем значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{12}\): \(\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=\frac{\pi}{12}} = \cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\cdot\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Таким образом, производная функции \(y = \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2x\)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{12}\) равна \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\).

2. Теперь найдем производную функции \(y = \cot(6x)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{24}\).

Найдем производную функции котангенса: \(\frac{d}{dx} \cot(x) = -\cfrac{1}{\sin^2(x)}\).

Применим это к нашей функции: \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \cot(6x) = -\cfrac{1}{\sin^2(6x)}\).

Вычислим значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{24}\): \(\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=\frac{\pi}{24}} = -\cfrac{1}{\sin^2(6\cdot\frac{\pi}{24})} = -\cfrac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4})}\).

Таким образом, производная функции \(y = \cot(6x)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{24}\) равна \(-\cfrac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4})}\).

3. Наконец, найдем производную функции \(y = \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{3}\).

Применим формулу для производной синуса: \(\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)\).

Применим это к нашей функции: \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right)\).

Найдем значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{3}\): \(\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=\frac{\pi}{3}} = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2\cdot\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\).

Таким образом, производная функции \(y = \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{3}\) равна \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\).

Надеюсь, эти подробные ответы помогли вам понять, как найти производную в заданных точках. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.