Какие собственные частоты колебаний узкой тонкой пластины можно найти, если один конец пластины закреплен, а другой

Ветерок

41

Если мы имеем дело с узкой тонкой пластиной, один конец которой закреплен, а другой конец свободен, то можно найти несколько собственных частот колебаний.

Собственные частоты колебаний узкой тонкой пластины зависят от ее формы и материала. В общем случае, для прямоугольной пластины со сторонами \(a\) и \(b\) (где \(a\) - ширина, \(b\) - длина) можно использовать формулу:

\[f_{mn} = \dfrac{c}{2} \sqrt{\dfrac{m^2}{a^2} + \dfrac{n^2}{b^2}}\]

где \(f_{mn}\) - собственная частота колебаний, \(c\) - скорость распространения поперечных волн в материале пластины, \(m\) и \(n\) - целочисленные значения, определяющие режим колебаний (колебательные частоты описываются различными комбинациями \(m\) и \(n\)).

Для примера, рассмотрим прямоугольную пластину, у которой ширина \(a = 0.2\) м и длина \(b = 0.4\) м. Предположим, что скорость распространения поперечных волн составляет \(c = 250\) м/с.

Мы можем найти несколько собственных частот колебаний, используя формулу:

\[f_{mn} = \dfrac{c}{2} \sqrt{\dfrac{m^2}{a^2} + \dfrac{n^2}{b^2}}\]

Давайте рассмотрим несколько примеров.

1. При \(m = 1\) и \(n = 1\), мы получим:

\[f_{11} = \dfrac{250}{2} \sqrt{\dfrac{1^2}{0.2^2} + \dfrac{1^2}{0.4^2}}\]
\[f_{11} \approx 176.78 \text{ Гц}\]

2. При \(m = 2\) и \(n = 1\), мы получим:

\[f_{21} = \dfrac{250}{2} \sqrt{\dfrac{2^2}{0.2^2} + \dfrac{1^2}{0.4^2}}\]
\[f_{21} \approx 353.55 \text{ Гц}\]

3. При \(m = 1\) и \(n = 2\), мы получим:

\[f_{12} = \dfrac{250}{2} \sqrt{\dfrac{1^2}{0.2^2} + \dfrac{2^2}{0.4^2}}\]
\[f_{12} \approx 353.55 \text{ Гц}\]

Таким образом, для данной пластины мы получили несколько собственных частот колебаний: \(176.78 \text{ Гц}, 353.55 \text{ Гц}\).

Учтите, что это только некоторые примеры, и есть другие комбинации \(m\) и \(n\), которые также могут давать различные собственные частоты колебаний для данной пластины.