Какие углы образуются при пересечении диагоналей ромба с его сторонами, если угол между проведенными из вершины

Saveliy

32

Давайте рассмотрим задачу о пересечении диагоналей ромба и его сторон с углом между проведенными из вершины высотами, составляющим 100°.

Представим себе ромб ABCD, где A, B, C и D - вершины ромба, а AC и BD - его диагонали. Пусть H и E - это точки пересечения диагоналей с соответствующими сторонами ромба, как показано на рисунке ниже.

$$AB=BC=CD=DA$$

$$\text{Missing open brace for subscript}$$

Известно, что угол между проведенными из вершины высотами равен 100°. Обозначим такой угол как $\mathrm{\angle }X$.

Сначала мы заметим, что угол между проведенными из вершины высотами образует биссектрису угла в тупой вершине ромба. Обозначим этот угол, образованный диагоналями, как $\mathrm{\angle }Y$ и углы в вершинах, обозначенные как $\mathrm{\angle }A$ и $\mathrm{\angle }C$.

Так как $\mathrm{\angle }X$ равен 100°, а $\mathrm{\angle }Y$ является биссектрисой $\mathrm{\angle }X$, то $\mathrm{\angle }AYX=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }X=50°$.

Также из того факта, что диагонали ромба являются перпендикулярными и делятся пополам, получаем, что $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }CDA=\mathrm{\angle }DAB=90°$.

Теперь мы можем применить факт, что сумма углов в треугольнике равна 180°, чтобы найти углы $\mathrm{\angle }A$ и $\mathrm{\angle }C$:

$$\begin{gathered} \mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }Y+\mathrm{\angle }AYX=180° \\ \mathrm{\angle }A+50°+\mathrm{\angle }AYX=180° \\ \mathrm{\angle }A+50°+50°=180° \\ \mathrm{\angle }A=180°-100°=80° \end{gathered}$$

Аналогичным образом, мы можем найти угол $\mathrm{\angle }C$:

$$\begin{gathered} \mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }BCD+\mathrm{\angle }CDY=180° \\ \mathrm{\angle }C+90°+\mathrm{\angle }CDY=180° \\ \mathrm{\angle }C+90°+50°=180° \\ \mathrm{\angle }C=40° \end{gathered}$$

Таким образом, получаем следующие значения углов:

$\mathrm{\angle }A=80°$ и $\mathrm{\angle }C=40°$.

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи: углы, образованные при пересечении диагоналей ромба с его сторонами, составляют 80° и 40°.

Также, как следует из доказательства, углы между диагоналями ромба и его сторонами составляют 50° и 90°, соответственно.