Какова площадь ромба, если его высота равна 15 см, а один из острых углов составляет 30 градусов?

Zoya

1

Для решения этой задачи, нам нужно использовать формулу для площади ромба. Формула для площади ромба выглядит следующим образом:

\[Площадь = \frac{{диагональ_1 \times диагональ_2}}{2}\]

Однако, у нас нет информации о длинах диагоналей. Вместо этого, мы имеем высоту ромба и величину одного из острых углов.

Чтобы найти площадь ромба, нам нужно рассмотреть его геометрические свойства. Ромб можно разложить на два равнобедренных треугольника. Для решения задачи нам понадобится половина произведения диагоналей ромба.

Поскольку один из острых углов ромба составляет 30 градусов, это означает, что другой острый угол также будет иметь 30 градусов. Таким образом, у нас есть равнобедренный треугольник с двумя равными углами по 30 градусов и стороной, равной 15 см (высоте ромба).

Для нахождения диагоналей ромба, мы можем использовать тригонометрические соотношения в равнобедренном треугольнике. Так как угол равен 30 градусов, мы можем использовать тангенс:

\[\tan(30^\circ) = \frac{{диагональ}}{{сторона}}\]

Подставляя известные значения, мы можем решить уравнение для диагонали:

\[\tan(30^\circ) = \frac{{диагональ}}{{15 \, \text{см}}}\]

\[\frac{1}{{\sqrt{3}}} = \frac{{диагональ}}{{15 \, \text{см}}}\]

Мы можем решить это уравнение для диагонали:

\[диагональ = \frac{{15 \, \text{см}}}{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}} = 15 \sqrt{3} \, \text{см}\]

Теперь, когда у нас есть длина диагонали ромба, мы можем использовать формулу для площади:

\[Площадь = \frac{{диагональ_1 \times диагональ_2}}{2} = \frac{{15 \sqrt{3} \, \text{см} \times 15 \sqrt{3} \, \text{см}}}{2} = \frac{{225 \times 3 \, \text{см}^2}}{2} = \frac{{675 \, \text{см}^2}}{2} = 337.5 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь ромба составляет 337.5 квадратных сантиметра.