Какие углы образуются в треугольнике, если точки M1 и M2 являются его вершинами, а M3 - точка пересечения его медиан?

Inna_292

40

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить углы треугольника, зная координаты его вершин. Для этого применим формулу для нахождения угла между двумя векторами в декартовой системе координат.

1. Найдем векторы \(\overrightarrow{M_1M_2}\) и \(\overrightarrow{M_1M_3}\):

\[\overrightarrow{M_1M_2} = \overrightarrow{M_2} - \overrightarrow{M_1} = (-1; 3) - (2; -1) = (-1 - 2; 3 - (-1)) = (-3; 4)\]

\[\overrightarrow{M_1M_3} = \overrightarrow{M_3} - \overrightarrow{M_1} = (2; 7) - (2; -1) = (2 - 2; 7 - (-1)) = (0; 8)\]

2. Вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{M_1M_2}\) и \(\overrightarrow{M_1M_3}\):

\[\overrightarrow{M_1M_2} \cdot \overrightarrow{M_1M_3} = (-3) \cdot 0 + 4 \cdot 8 = 0 + 32 = 32\]

3. Найдем длины векторов \(\overrightarrow{M_1M_2}\) и \(\overrightarrow{M_1M_3}\):

\(|\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

\(|\overrightarrow{M_1M_3}| = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{0 + 64} = \sqrt{64} = 8\)

4. Вычислим косинус угла между векторами \(\overrightarrow{M_1M_2}\) и \(\overrightarrow{M_1M_3}\) с использованием скалярного произведения и длин векторов:

\[\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{M_1M_2} \cdot \overrightarrow{M_1M_3}}{|\overrightarrow{M_1M_2}| \cdot |\overrightarrow{M_1M_3}|} = \frac{32}{5 \cdot 8} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}\]

5. Найдем значение угла \(\theta\) с помощью арккосинуса полученного значения косинуса:

\[\theta = \arccos{\left(\frac{4}{5}\right)}\]

6. Вычислим радианную меру угла \(\theta\):

\[\text{Радианная мера } \theta = \theta \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\]

7. Так как у нас дана радианная мера угла, найдем его значение в градусах:

\[\text{Значение \(\theta\) в градусах } = \theta \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\]

Таким образом, чтобы определить углы треугольника, необходимо произвести вычисления, описанные выше.