17.2. Подтвердите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 перпендикулярны следующие плоскости: а) ABC и BDD1; б) ACC1

Zagadochnyy_Elf

2

Для начала, давайте разберемся с определением параллелепипеда. Параллелепипед – это геометрическое тело, у которого все грани являются параллелограммами. В нашем случае, параллелепипед ABCDA1B1C1D1 имеет грани ABCD, A1B1C1D1, ABDA1, BCB1C1 и ACAD1B1.

У нас есть два утверждения, которые нам нужно проверить:
а) Плоскость ABC перпендикулярна плоскости BDD1.
б) Плоскость ACC1 перпендикулярна плоскости BDD​1.

Для проверки данных утверждений, нам понадобятся некоторые геометрические свойства параллелепипеда. Одно из таких свойств состоит в том, что диагонали параллелепипеда пересекаются в его центре. Так как в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 у нас есть две пары диагоналей – от точки A до точки C1 и от точки A1 до точки C, значит, их пересечение будет соединять эти две плоскости и являться их общей прямой.

Теперь рассмотрим плоскости ABC и BDD1. Для того, чтобы они были перпендикулярными, необходимо, чтобы прямая AC1 пересекалась с прямой BD в прямом угле. Но мы уже знаем, что прямая, соединяющая точки A и C1, является диагональю параллелепипеда, а прямая BD – это диагональ параллелепипеда. Исходя из геометрического свойства, которое было упомянуто ранее, диагонали пересекаются в центре, в котором образуется прямой угол. Следовательно, плоскости ABC и BDD1 перпендикулярны.

Теперь обратимся к плоскостям ACC1 и BDD​1. Аналогично, нам нужно проверить, пересекаются ли диагонали AC и BD в прямом угле. Так как точки A и C1 соединены диагональю параллелепипеда, а точки B и D – также, получается, что прямые AC и BD пересекаются в их центре, образуя прямой угол. Получается, что плоскости ACC1 и BDD1 также перпендикулярны.

Таким образом, мы подтвердили, что обе пары плоскостей - ABC и BDD1, а также ACC1 и BDD1 перпендикулярны.