У циліндрі проведено площину паралельно до його осі, яка відрізняє частину круга дугою 2β. Січна площина перетинає

Димон_5081

1

Давайте решим задачу шаг за шагом:

а) Для нахождения радиуса основы цилиндра нам необходимо рассмотреть круг, образованный сечением цилиндра плоскостью, параллельной его оси. Этот круг будет дугой полного круга, поскольку сечение происходит параллельно оси.

Длина дуги дана как 2β. Полная длина окружности выражается формулой \(2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности. Следовательно, у нас есть уравнение:

\[2\pi r = 2\beta\]

Разделим оба выражения на 2, получим:

\[\pi r = \beta\]

Выразим \(r\):

\[r = \frac{\beta}{\pi}\]

б) Площадь основы цилиндра равна площади круга, образованного основой. Формула для площади круга - \(S = \pi r^2\). Подставим выражение для радиуса, получим:

\[S = \pi \left(\frac{\beta}{\pi}\right)^2 = \frac{\beta^2}{\pi}\]

в) Чтобы найти высоту цилиндра, нам нужно найти длину хорды, которая образуется секущей плоскостью. Дано, что длина хорды равна \(а\).

Формула для длины хорды: \(L = 2r\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\)

Зная, что \(L = а\) и \(r = \frac{\beta}{\pi}\), можем решить уравнение:

\[а = 2\left(\frac{\beta}{\pi}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\]

Разделим оба выражения на 2, получим:

\[\frac{а}{2} = \left(\frac{\beta}{\pi}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\]

Выразим \(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\):

\[\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{а}{2}\cdot\frac{\pi}{\beta}\]

Далее можно найти значение \(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\) с помощью функции arcsin.

Таким образом, высота цилиндра будет равна:

\[h = 2\left(\frac{\beta}{\pi}\right)\cdot\sin^{-1}\left(\frac{а}{2}\cdot\frac{\pi}{\beta}\right)\]

г) Чтобы найти диагональ перерезу вдоль оси цилиндра, нам необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный диагональю, радиусом основы и высотой цилиндра. Из этого треугольника можно применить теорему Пифагора:

\[\text{диагональ}^2 = \text{радиус}^2 + \text{высота}^2\]

Подставим значения:

\[\text{диагональ}^2 = \left(\frac{\beta}{\pi}\right)^2 + h^2\]

где \(h\) - ранее найденная высота цилиндра.

д) Площадь перереза цилиндра можно найти, используя формулу для площади круга. Так как плоскость пересекает основу и дугу, площадь перереза будет состоять из площади сегмента дуги и площади круга.

Площадь сегмента дуги можно найти следующим образом:

\[S_{\text{сегмента}} = \frac{\theta}{360^{\circ}}\cdot \pi r^2\]

где \(\theta\) - центральный угол, соответствующий дуге 2β.

Плоскость также пересекает основу, поэтому площадь перереза будет равна сумме площади сегмента и площади круга:

\[S_{\text{перереза}} = S_{\text{сегмента}} + \pi r^2\]

Подставим найденные значения:

\[S_{\text{перереза}} = \left(\frac{2\beta}{360^{\circ}}\right)\cdot \pi \left(\frac{\beta}{\pi}\right)^2 + \pi \left(\frac{\beta}{\pi}\right)^2\]

По сокращению получим:

\[S_{\text{перереза}} = \left(\frac{\beta}{180^{\circ}}\right)\cdot \left(\beta^2 + \pi \left(\frac{\beta}{\pi}\right)^2\right)\]

е) Чтобы найти угол наклона диагонали перереза к плоскости основы, нам необходимо определить отношение высоты цилиндра к диагонали.

\[\tan\alpha = \frac{h}{\text{диагональ}}\]

Подставим найденные значения:

\[\tan\alpha = \frac{2\left(\frac{\beta}{\pi}\right)\cdot\sin^{-1}\left(\frac{а}{2}\cdot\frac{\pi}{\beta}\right)}{\sqrt{\left(\frac{\beta}{\pi}\right)^2 + \left(2\left(\frac{\beta}{\pi}\right)\cdot\sin^{-1}\left(\frac{а}{2}\cdot\frac{\pi}{\beta}\right)\right)^2}}\]

Вот и все шаги решения задачи. Надеюсь, эти пояснения помогли вам понять каждый этап решения. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.