Какие уравнения можно составить для всех сфер, у которых радиусом является отрезок PQ, если координаты точки P равны

Aleksandrovich

65

Для составления уравнений сферы, у которой радиусом является отрезок PQ с заданными координатами точек P и Q, мы должны использовать общее уравнение сферы.

Общее уравнение сферы имеет следующий вид:
\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\]
где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

В данном случае, выражение "отрезок PQ, где P(-1;2;1) и Q(0;3;2)" означает, что P и Q являются началом и концом диаметра сферы, а его середина будет являться центром сферы.

Чтобы найти центр сферы (a, b, c), мы можем использовать середину отрезка PQ, для этого мы найдем среднее значение координат из P и Q:
\[a = \frac{{x_P + x_Q}}{2} = \frac{{(-1) + 0}}{2} = -\frac{1}{2}\]
\[b = \frac{{y_P + y_Q}}{2} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\]
\[c = \frac{{z_P + z_Q}}{2} = \frac{{1 + 2}}{2} = \frac{3}{2}\]

Теперь, чтобы найти радиус сферы, мы можем использовать расстояние между точками P и Q. Формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве можно записать так:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставим координаты P и Q в формулу и вычислим расстояние:
\[d = \sqrt{{(0 - (-1))^2 + (3 - 2)^2 + (2 - 1)^2}} = \sqrt{{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \sqrt{{3}}\]

Таким образом, радиус сферы r равен \(\sqrt{{3}}\).

Теперь мы можем записать уравнение сферы, подставив полученные значения в общее уравнение:
\[(x - (-\frac{1}{2}))^2 + (y - \frac{5}{2})^2 + (z - \frac{3}{2})^2 = (\sqrt{{3}})^2\]

Упростив выражение, получим ответ:
\[(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 + (z - \frac{3}{2})^2 = 3\]

Таким образом, уравнение для всех сфер, у которых радиусом является отрезок PQ с заданными координатами точек P и Q, будет иметь вид:
\[(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 + (z - \frac{3}{2})^2 = 3\]