Какие утверждения верны для любых ограниченных последовательностей [tex]x_n : : и : : y_n[/tex]? Предоставьте

Sharik

61

Для любых ограниченных последовательностей \(x_n\) и \(y_n\) следующие утверждения верны:

1. Ограниченность последовательности:
Обе последовательности \(x_n\) и \(y_n\) ограничены, то есть существуют такие числа \(M\) и \(m\), что для всех значений \(n\) выполняются неравенства \(-M \leq x_n \leq M\) и \(-m \leq y_n \leq m\). Это означает, что значения элементов последовательностей находятся в некотором диапазоне и не стремятся к бесконечности.

Обоснование: Поскольку обе последовательности ограничены, то есть существуют верхняя и нижняя границы для каждой из них, мы можем найти такие числа \(M\) и \(m\), чтобы все элементы последовательностей находились в пределах этих границ.

2. Пределы последовательностей:
Последовательности \(x_n\) и \(y_n\) имеют пределы \(L_x\) и \(L_y\) соответственно. Это означает, что при \(n\), стремящемся к бесконечности, элементы последовательностей становятся сколь угодно близкими к своим пределам \(L_x\) и \(L_y\).

Обоснование: Поскольку последовательности ограничены, существуют пределы \(L_x\) и \(L_y\), которыми элементы стремятся при достаточно больших значениях \(n\). Это показывает, что значения последовательностей сходятся к определенным числовым значениям.

3. Арифметические операции:
Арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, могут быть применены к элементам последовательностей \(x_n\) и \(y_n\). То есть для любых значений \(n\) выполняются равенства:

\[x_n \pm y_n = z_n\]
\[kx_n = w_n\]
\[x_n \cdot y_n = u_n\]
\[\frac{x_n}{y_n} = v_n, \: \text{при условии, что} \: y_n \neq 0\]

Обоснование: Поскольку последовательности ограничены, все арифметические операции, примененные к их элементам, также будут ограничены. Значения этих операций могут быть вычислены путем применения соответствующих операций к элементам последовательностей.

4. Неравенства:
Если для последовательностей \(x_n\) и \(y_n\) выполняются неравенства \(x_n \geq y_n\) для всех значений \(n\), то предел \(L_x\) последовательности \(x_n\) будет больше или равен пределу \(L_y\) последовательности \(y_n\).

Обоснование: Поскольку элементы последовательности \(x_n\) являются больше или равными соответствующим элементам последовательности \(y_n\), предельное значение \(L_x\) будет также больше или равно предельному значению \(L_y\).

Все утверждения обладают оправданием и объяснением. Если у вас возникли дополнительные вопросы или вам нужно решить примеры, не стесняйтесь обращаться! Я готов помочь вам в любых вопросах и дать подробные объяснения каждого решения.