Какие являются основными особенностями функции x^2+6x-8? Определите область определения, область значений, корни

Letuchaya_Mysh

5

Функция \(f(x) = x^2 + 6x - 8\) имеет несколько основных особенностей, которые мы рассмотрим по одной.

1. Область определения:
Область определения функции - это множество значений \(x\), для которых функция имеет смысл. В данном случае, функция является квадратичной функцией, и квадратные функции определены для всех действительных чисел \(x\). Таким образом, область определения данной функции - все действительные числа.

2. Область значений:
Область значений функции - это множество значений, которые функция принимает. Для квадратичной функции, график которой является параболой, область значений зависит от положения параболы. В данном случае, коэффициент \(a\) перед \(x^2\) - положительный, что означает, что парабола открывается вверх. Это означает, что минимальное значение функции будет достигаться в вершине параболы. Чтобы найти область значений, мы можем рассмотреть значение функции в вершине параболы. Формула для нахождения абсциссы вершины \(x_v\) в общем виде \(x_v = -\frac{b}{2a}\). В данном случае, \(a = 1\) и \(b = 6\), поэтому \(x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3\). Подставив \(x = -3\) в функцию, получим \(f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) - 8 = 9 - 18 - 8 = -17\). Таким образом, область значений функции - все действительные числа больше или равных \(-17\).

3. Корни функции:
Корни функции - это значения \(x\), при которых функция равна нулю. Чтобы найти корни функции, мы решаем уравнение \(x^2 + 6x - 8 = 0\). Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации, или используя формулу дискриминанта. В данном случае, если мы используем формулу дискриминанта, то \(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68\). Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два различных корня. Формула для нахождения корней \(x_1\) и \(x_2\) в общем виде \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). В данном случае, \(a = 1\), \(b = 6\) и \(D = 68\): \(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}\). Таким образом, корни функции \(x^2 + 6x - 8\) равны \(-3 + \sqrt{17}\) и \(-3 - \sqrt{17}\).

4. Интервалы возрастания функции:
Для определения интервалов возрастания функции мы должны рассмотреть знак производной функции. Если производная положительна, функция возрастает, и если отрицательна, функция убывает. Для данной квадратичной функции \(f(x) = x^2 + 6x - 8\), мы можем найти производную функции по \(x\) и найти его знак. Производная функции \(f"(x) = 2x + 6\). Чтобы найти интервалы возрастания, мы решим неравенство \(f"(x) > 0\). \(2x + 6 > 0\), \(2x > -6\), \(x > -3\). Таким образом, функция возрастает при значениях \(x\) больше \(-3\).

Вот основные особенности функции \(f(x) = x^2 + 6x - 8\):

- Область определения: все действительные числа.
- Область значений: все действительные числа больше или равных \(-17\).
- Корни функции: \(-3 + \sqrt{17}\) и \(-3 - \sqrt{17}\).
- Интервалы возрастания функции: \(x > -3\).

Надеюсь, что данный ответ был подробным и понятным для вас! Если у вас возникнут какие-либо еще вопросы, не стесняйтесь задавать!