Какие значения большой полуоси а и малой полуоси b должен иметь эллипс, симметричный относительно осей координат

Вероника

61

Для того чтобы найти значения большой полуоси \(a\) и малой полуоси \(b\) симметричного относительно осей координат эллипса, проходящего через эти точки, мы можем использовать следующий подход:

1. Эллипс, симметричный относительно оси \(x\), будет иметь уравнение вида \(\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1\).
2. Мы также знаем, что эллипс проходит через точки \(\left(\frac{{10\sqrt{2}}}{3}, \frac{2}{3}\right)\) и \(\left(\frac{{5\sqrt{3}}}{2}, \frac{3}{2}\right)\).
3. Подставим координаты первой точки в уравнение:

\[\frac{{\left(\frac{{10\sqrt{2}}}{3}\right)^2}}{{a^2}} + \frac{{\left(\frac{2}{3}\right)^2}}{{b^2}} = 1\]

Упростив выражение, получим:

\[\frac{{200}}{{9a^2}} + \frac{{4}}{{9b^2}} = 1\]

4. Подставим координаты второй точки в уравнение:

\[\frac{{\left(\frac{{5\sqrt{3}}}{2}\right)^2}}{{a^2}} + \frac{{\left(\frac{{3}{2}}\right)^2}}{{b^2}} = 1\]

Упростив выражение, получим:

\[\frac{{75}}{{4a^2}} + \frac{{9}}{{4b^2}} = 1\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} \frac{{200}}{{9a^2}} + \frac{{4}}{{9b^2}} = 1 \\ \frac{{75}}{{4a^2}} + \frac{{9}}{{4b^2}} = 1 \end{cases}\]

5. Решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 4 и второе уравнение на 9, чтобы избавиться от знаменателей:

\[\begin{cases} \frac{{800}}{{9a^2}} + \frac{{16}}{{9b^2}} = 4 \\ \frac{{675}}{{4a^2}} + \frac{{81}}{{4b^2}} = 9 \end{cases}\]

6. Теперь сложим оба уравнения:

\[\frac{{800}}{{9a^2}} + \frac{{675}}{{4a^2}} + \frac{{16}}{{9b^2}} + \frac{{81}}{{4b^2}} = 4 + 9\]

\[\frac{{800}}{{9a^2}} + \frac{{675}}{{4a^2}} + \frac{{16}}{{9b^2}} + \frac{{81}}{{4b^2}} = 13\]

7. Упростим выражение:

\[\frac{{3200}}{{36a^2}} + \frac{{1215}}{{36a^2}} + \frac{{64}}{{36b^2}} + \frac{{729}}{{36b^2}} = 13\]

\[\frac{{3200 + 1215}}{{36a^2}} + \frac{{64 + 729}}{{36b^2}} = 13\]

\[\frac{{4415}}{{36a^2}} + \frac{{793}}{{36b^2}} = 13\]

8. Теперь мы получили одно уравнение с двумя неизвестными. Можем попытаться найти целочисленные значения для \(a\) и \(b\), деля оба коэффициента на 13:

\[\frac{{5}}{{36a^2}} + \frac{{61}}{{36b^2}} = 1\]

Заметим, что одним из возможных целочисленных решений будет \(a = 6\) и \(b = 6\).

Таким образом, значения большой полуоси \(a\) и малой полуоси \(b\) эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки \(\left(\frac{{10\sqrt{2}}}{3}, \frac{2}{3}\right)\) и \(\left(\frac{{5\sqrt{3}}}{2}, \frac{3}{2}\right)\), равны 6 и 6 соответственно.