Какие значения х являются абсциссами точек, в которых касательные к графикам функций f(x)=3cos(5x) и g(x)=5cos(3x)+2

Polosatik

52

Для того чтобы найти значения \(x\), при которых касательные к графикам функций \(f(x) = 3\cos(5x)\) и \(g(x) = 5\cos(3x) + 2\) параллельны, мы должны рассмотреть их производные.

Производная функции \(f(x)\) может быть найдена с помощью цепного правила дифференцирования. Применяя это правило, получаем:

\[
f"(x) = -3 \cdot 5\sin(5x) \cdot 5 = -75\sin(5x)
\]

Производная функции \(g(x)\) может быть найдена аналогичным образом:

\[
g"(x) = -5 \cdot 3\sin(3x) \cdot 3 = -45\sin(3x)
\]

Чтобы найти значения \(x\), при которых касательные параллельны, производные должны быть равны:

\[
-75\sin(5x) = -45\sin(3x)
\]

Делим обе части уравнения на \(-15\sin(5x)\), чтобы избавиться от отрицательного знака и упростить решение:

\[
5\sin(3x) = 3\sin(5x)
\]

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество:

\[
\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)
\]

Применим это тождество, заменив \(\alpha\) на \(3x\) и \(\beta\) на \(2x\):

\[
\sin(3x+2x) = \sin(3x)\cos(2x) + \cos(3x)\sin(2x)
\]

\[
\sin(5x) = \sin(3x)\cos(2x) + \cos(3x)\sin(2x)
\]

Теперь, используя тождество, мы можем переписать уравнение:

\[
5\sin(3x) = 3\sin(3x)\cos(2x) + \cos(3x)\sin(2x)
\]

Разделим обе части на \(\sin(3x)\):

\[
5 = 3\cos(2x) + \frac{\cos(3x)\sin(2x)}{\sin(3x)}
\]

Заметим, что \(\frac{\cos(3x)\sin(2x)}{\sin(3x)} = \cos(2x)\), так как \(\cos(3x)\) разделилось на \(\sin(3x)\). Таким образом, получаем:

\[
5 = 4\cos(2x)
\]

Делим обе части на 4:

\[
\cos(2x) = \frac{5}{4}
\]

Теперь, чтобы получить значения \(x\), для которых касательные параллельны, нужно решить это уравнение. Результирующее значение арккосинуса \(\frac{5}{4}\) даст нам значения \(x\), удовлетворяющие условию.

Подставляя значение в уравнение, получаем:

\[
2x = \cos^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)
\]

\[
x = \frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)
\]

Таким образом, значения \(x\), при которых касательные к графикам функций \(f(x) = 3\cos(5x)\) и \(g(x) = 5\cos(3x) + 2\) параллельны, задаются выражением

\[
x = \frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)
\]

при условии, что \(\frac{5}{4}\) находится в диапазоне значений, которые могут быть аргументами для арккосинуса.